Математические основы векторной графики

Лекция

Тема: Векторная графика. Преимущества, недостатки и особенности векторной графики.

Векторная графика - это вид компьютерной графики, в котором изображение представляется в виде совокупности отдельных объектов, описанных математически.

В растровой графике основным элементом изображения является точка, а в векторной графике - линия (при этом не важно, прямая это линия или кривая).

В векторной графике базовым элементом является линия, которая описывается математической формулой. Такое представление данных компактнее, но построение объектов сопровождается непрерывным пересчетом параметров кривой в координаты экранного или печатного изображения. Линия является элементарным объектом, которому присущи определенные особенности: форма, толщина, цвет и т.д. Любой объект (прямоугольник, эллипс, текст и даже прямая линия) воспринимается как кривые линии. Исключение составляют лишь импортируемые растровые объекты.

Векторные объекты всегда имеют путь, который определяет их форму. Если путь является замкнутым, то есть конечная точка совпадает с начальной, объект имеет внутренний участок, который может быть заполнен цветом или другими объектами. Все пути включают два компонента: сегменты и узлы.

• Путь представляет собой маршрут, соединяющий начальную и конечную точку.

• Сегмент - отдельная часть пути, может быть как прямой, так и кривой линией.

• Узел - начальная или конечная точка сегмента.

Каждый элемент векторной графики содержит эти три основных элемента и позволяет их редактировать.

Математические основы векторной графики

Различные объекты имеют различные способы представления.

Точка. Объект на плоскости представляется двумя числами (х, у) относительно начала координат.

Прямая линия. Ей соответствует уравнение у = kx + b. Указав параметры k и b можно создать прямую линию в известной системе координат.

Сегмент прямой. Для описания нужно дополнительно указать параметры х₁ и х₂, соответственно на начало и конца отрезка.

Кривая линия II порядка. К ним относятся эллипсы, круги, параболы, гиперболы и т.д. Прямая линия также случаем кривой II порядка. Кривая II порядка не имеет точек перегиба и описывается уравнением а₀х² + а₁у² + а₂ху + а₃х + а₄у + а₅ = 0. Для построения отрезка кривой дополнительно нужны еще два параметра начала и конца отрезка.

Кривая линия III порядка. Важно наличие точки перегиба, что позволяет отобразить различные объекты. Уравнение кривой III порядка а₀х³ + а₁у³ + а₂х² + а₃ху² + а₄х² + а₅у² + а₆ху + а₇х + а₈у + а₉ = 0. Для описания отрезка нужны еще два параметра начала и конца отрезка. Заметим, что прямая и кривые II порядка является частным случаем кривых III порядке.

Кривые Безье. Упрощенный вид кривых III порядка. Метод построения кривых Безье основан на использовании пары касательных, проведенных к отрезку линии в его окончании. На форму кривой линии влияет угол наклона касательной и длина ее отрезка. Таким образом, касательные играют роль виртуальных рычагов, с помощью которых управляющие формой кривой.

С помощью кривых создается контур объекта, внутри которого может быть заполнение (любой цвет, штриховки или изображения). Заполненный объект трактуется как единый элемент, то есть при чередовании формы объекта, заполнение заполняет всю его внутреннюю область.

Заполнение можно разбить на 4 категории:

• однородное заполнение - одним цветом или штриховкой;

• градиентное, при котором цвета или тени постепенно изменяются (линейная, радиальная, коническая, прямоугольная и т.д.);

• узорчатое, при котором объект заполняется повторяющимися изображениями (двухцветными или многоцветными);

• текстурное заполнение (художественные изображения).

У векторных редакторов есть средства применения эффектов к простым объектам (тень, выдавливание, искажение, прозрачность и т.д.).

Следует отметить наличие средств обработки текста, к которым можно применить все приемы редактирования объектов, управлять размерами текста и возвращать в любую сторону.