Проверка знания формулы площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними. Ответ: А).

10. Разделим 2-ое уравнение на 1-ое:

11. Сделаем замену. Пусть 6x=u, 3y=v. Тогда получим систему двух линейных уравнений: u-2v=2 и u·v=12. Выразим u из 1-го уравнения: u=2+2v. Подставим это значение u во 2-ое уравнение.

(2+2v)·v=12; 2(1+v)·v=12. Делим обе части равенства на 2.

(1+v)·v=6; v2+v-6=0. Находим корни по теореме Виета. v1=-3, v2=2.

Если v=-3, то u=2+2∙ (-3)=-4. Если v=2, то u=2+2∙ 2=6. Возвращаемся к первоначальным переменным х и у. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то пара (-4; -3) не подходит. Тогда 6x=u=6, откуда х=1. 3y=v=2. Воспользуемся определением логарифма и выразим показатель у. Тогда у=log32. Ответ: (1; log32).

12. Используем определение логарифма, основное логарифмическое тождество и одну из формул перехода к новому основанию.

13. Возводим обе части равенства в куб: 35-x2=23; -x2=8-35; -x2=-27; x2=27; отсюда:

14. Множество значений функции — это те значения, которые может принимать функция у. У нас квадратичная функция вида y=ax2+bx+c, графиком ее служит парабола, ветви которой будут направлены вверх, так как первый коэффициент а=1> 0. При любом значении х функция будет принимать значения от ординаты точки — вершины параболы и до +∞. Вершина параболы О’(m, n), где m=-b/a =6: 2=3, n=y(m) =у(3)=32-6∙ 3+7=9-18+7=-2. Вершина параболы О’(3; -2). Область значений функции Е(у)=[-2; +∞).

15. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке, нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, а затем из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее. Найдем значения данной функции при х=-1 и при х=2, т.е. на концах отрезка.

16. Если вписанный угол, опирающийся на дугу сектора, равен 20°, то соответствующий этой дуге, центральный угол в 2 раза больше, т.е. равен 40°. Применим формулу площади сектора, в которую и подставим наши значения: радиуса R=18 см и центрального угла α =40°.

17. Пусть ABCDA1B1C1D1 – данная прямая призма, основанием которой является ромб ABCD c диагоналями AC=30 см и BD=16 см. Объем этой призмы 4800 см2.

Требуется найти площадь боковой поверхности призмы. Определяемся с формулами – надо знать, чего нам не хватает для нахождения искомой площади. Площадь боковой поверхности призмы находят по формуле: Sбок.=Pосн.∙ H. Периметр основания мы найдем, если будем знать сторону основания, т.е сторону ромба ABCD. Можем ее найти? Да, у нас есть диагонали ромба, которые взамно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Из прямоугольного Δ АОD по теореме Пифагора АD2=AO2+OD2; АD2=152+82=225+64=289. Следовательно, сторона основания АD=17 см, и периметр основания Pосн= 4∙ АD=4∙ 17= 68 см. Теперь надо найти высоту призмы Н. Объем призмы нам дан. Формула объема призмы V=Sосн.∙ H. Площадь основания – это площадь ромба, которую можно найти по формуле: Sp.= (1/2)∙ d1∙ d2. Здесь d1 и d2 – диагонали ромба. Тогда Sосн.= (1/2)∙ 30∙ 16= 240 см2. Подставим в формулу объема значения объема и площади основания призмы. 4800=240∙ Н, тогда Н=20 см. Искомая площадь боковой поверхности призмы Sбок.=Pосн.∙ H =68∙ 20= 1360 см2.

18. В основании правильной треугольной пирамиды MABC лежит правильный треугольник ABC, вершина которого проектируется в центр правильного треугольника — точку О. Апофема — это высота МК боковой грани МВС. Зная апофему и угол ее наклона к основанию, требуется найти сторону основания.

19. Такие задания многие пропускают. Напрасно! Мы сейчас подойдем к нему с двух сторон: решим быстренько, как и следует делать на экзамене, а потом рассмотрим решение подробно, чтобы вы все хорошо поняли и не боялись таких задачек.

1) Медиана делит сторону пополам, поэтому, К - середина стороны СD.

Координаты середины отрезка (точки К) находятся, как полусуммы координат концов отрезка (С(-4; -2) и D(8; -2)). Находим координаты точки К ((-4+8): 2; (-2-2): 2)→ К(2; -2). А теперь рассуждаем так:

прямая проходит через точку К, значит, координаты точки К должны удовлетворять уравнению прямой. Смотрим ответы и поочередно вместо х и у в уравнение прямой подставляем абсциссу и ординату точки К. Итак, ответ А) 2 х + у -2=0. У нас х=2, у=-2 (координаты точки К). Получаем: 2· 2 +(-2)-2=0; 4-2-2=0. Все верно, значит, ответ А). Если бы неравенство было неверным, то мы бы координаты точки К подставили в следующий ответ В) и т.д.

Вы могли бы спросить: а почему нельзя в ответы подставлять координаты точки М? Ведь искомая прямая и через нее должна проходить, значит, координаты точки М также удовлетворяют уравнению прямой. Тогда и не нужно тратить время на нахождение координат точки К … Да, так можно было поступить, но рискованно — вдруг, составители тестов в следующий раз ответы не наобум составят? И напишут кроме правильного ответа еще 4 уравнения прямых, проходящих через через точку М, но не проходящих через точку К?

2) Ну, а теперь поучимся решать такие задачи. Построим треугольник MDC. Координаты точки К очевидны. Но мы все же вычислим эти координаты, так как рассматриваем задачу в общем (а это частный) случае.

Координаты (х; у) – середины отрезка с концами в точках (х1; у1) и (х2; у2) находят по формулам:

Проведем медиану МК и составим уравнение прямой МК, применив формулу прямой, проходящей через две данные точки (х1; у1) и (х2; у2). Эта формула имеет вид:

20. Сгруппируем слагаемые в знаменателе первой дроби: (ab+b)+(a2+a) и вынесем общий множитель каждой группы за скобки. Разложим числитель первой дроби по формуле суммы кубов двух выражений. Затем первую дробь сократим на (а+1) и остается выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями (a+b).

21. Для того, чтобы упростить данное выражение, разложим знаменатель каждой дроби на множители. Для этого в каждом знаменателе выносим общий множитель за скобки. Замечаем, что в скобках знаменателей первых двух дробей остается (3х — 1), а у третьей дроби (1 — 3х). Поменяем знак перед третьей дробью и в ее знаменателе. Затем находим НОЗ получившихся знаменателей, приводим каждую из дробей к наименьшему общему знаменателю и выполняем алгебраическое сложение дробей.

22. Преобразуем данные в неравенстве степени к степеням со основаниями 5 и 2.

Разделим обе части неравенства на 52х.

Вводим новую переменную у.

Получаем квадратное неравенство 2у2-3у-5≤ 0.

Раскладываем левую часть неравенства на линейные множители и решаем его методом интервалов.

Находим промежуток значений у.

Определяем промежуток значений показательной функции (2/5)х.

Находим значения переменной х.

Ответ: [-1; +∞).

Подробное решение задания 22 в этом видео.

Представьте, мне написали, что в сборнике в этом показательном неравенстве показатель не х, а 1/х, потому, мол, и ответ у вас не сходится! Чудеса! Этот же пример с показателем 1/х сложнее, смотрите его решение тут.

23. Решаем данные неравенства по отдельности, используя соответствующие формулы для решения неравенств вида sin t > a и cos t < a, где -1≤ а≤ 1:

Если sin t > a, то arcsin a + 2π n < t < π -arcsin a + 2π n, где nєZ.

Если cos t < a, то arccos a + 2π n < t < 2π -arccos a + 2π n, где nєZ.

1) sin x > 0, 3.

arcsin 0, 3 + 2π n< x< π -arcsin 0, 3 +2π n, nєZ.

2) cos x < 0, 3.

arccos 0, 3 +2π n< x< 2π -arccos 0, 3 +2π n, nєZ.

Выбираем общее решение, т.е общую часть промежутков значений переменной х (берем слева больше большего, а справа -меньше меньшего)

Из значений arcsin 0, 3 и arccos 0, 3 выбираем большее: arccos 0, 3.

Из значений π -arcsin 0, 3 и 2π -arccos 0, 3 выбираем меньшее: π -arcsin 0, 3.

Получаем: arccos 0, 3+ 2π n< x< π -arcsin 0, 3+2π n, nєZ.

Ответ: (arccos 0, 3+ 2π n; π -arcsin 0, 3+2π n), nєZ.

Подробное объяснение решения системы смотрите в этом видео.

24. Это задание на вычисление площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=4x-x2 и у=4-х. Нужно построить графики этих функций.

1) Графиком функции y=4x-x2 служит парабола. Запишем эту функцию в виде: у=-х2+4х. Вершина параболы y=ax2+bx+c — точка O’(m; n) определяется так

Ветви параболы направлены вниз (а=-1< 0).

Найдем нули функции, чтобы легче было строить график.

4x-x2=0; х(4-х)=0. Отсюда х1=0, х2=4. Это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох. Проводим параболу.

2) Прямую у=4-х построим по двум точкам:

На рисунке графики пересекаются в точках (4; 0) и (1; 3). Чтобы убедиться в этом, можно подставить эти координаты в каждое равенство. Искомую площадь криволинейной трапеции найдем с помощью интеграла. Границы интегрирования a=1, b=4. Подынтегральная функция есть разность между уравнением верхней линии y=4x-x2 и уравнением нижней линии у=4-х.

25. Из данного равенства следует, что b=4a. Тогда числитель данной дроби a2+2ab= a2+2a∙ 4a=a2+8a2= 9a2, а знаменатель данной дроби b2+2ab= (4a)2+2a∙ 4a=16a2+8a2= 24a2. Осталось разделить 9а2 на 24а2. Получаем 3/8.

вариант 0002.

1. Запишем все под одним корнем третьей степени и сократим дробь, а из получившейся дроби извлечем кубический корень.

2. Упростим уравнение, умножив обе его части на 7. Получим 7y2-9y+2=0. По теореме Виета сумма корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0 равна –b/a. Значит:

3. Всего 880 пассажиров. Из них 35% мужчин, значит, женщин и детей 100%-35%=65%. Найдем 65% от 880. Чтобы найти процент от числа, нужно проценты превратить в десятичную дробь и умножить на данное число.

65%=0, 65; умножаем 880 на 0, 65, получаем 572. Столько женщин и детей, причем 75% от них составляют женщины, остальные 25% от 572 — это дети. Опять находим процент от числа. 25% от 572. Обращаем 25% в десятичную дробь (будет 0, 25) и умножаем на 572. Считаем: 572·0, 25= 143. Это дети. Женщин: 572-143= 429.

А короче?

25% — это четверть от 100%, поэтому, рассуждаем так: 572 делим на 4, получаем 143 (разделить на 4 проще, чем умножать на 0, 25)- это дети, а женщин 75% — это три четверти, поэтому, 143 умножаем на 3 и получаем 429.

4. По условию составляем неравенство:

11x+3< 5x-6; слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства, а свободные члены — в правой:

11x-5x< -6-3; приводим подобные слагаемые:

6x< -9; делим обе части неравенства на 6:

x< -1, 5. Ответ: Е).

5. 990° запишем в виде 2·360°+270°. Тогда cos 990° =cos(2·360°+270°)=cos 270°= 0.

6. Применим формулу для решения простейшего уравнения tg t=a.

t=arctg a +π n, nєZ. У нас t=4x.

7. Имеем: первый член арифметической прогрессии a1=25. Разность арифметической прогрессии d =a2-a1=30-25 =5. Применим формулу для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии и подставим в нее наши значения a1=25, d=5 и n=22, так как требуется найти сумму 22 членов прогрессии.

8. Графиком данной квадратичной функции y=x2-x-6 служит парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина параболы находится в точке O’(m; n). Это самая нижняя точка графика, поэтому, свое наименьшее значение n функция будет иметь при x=m=-b/(2a)=1/2. Ответ: D).

9. У равнобедренного треугольника боковые стороны равны между собой. Обозначим основание через х. Тогда каждая боковая сторона будет равна (х+3). Зная, что периметр треугольника равен 15, 6 см, составим уравнение:

х+(х+3)+(х+3)=15, 6;

3х=9, 6 → х=3, 2 — это основание треугольника, а каждая боковая сторона будет равна 3, 2+3= 6, 2. Ответ: стороны треугольника равны 6, 2 см; 6, 2 см и 3, 2 см.

10. С первым неравенством системы все ясно. Решаем второе неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни квадратного трехчлена 4x2+5x-6 и разложим его на линейные множители.

11. Cправа по основному логарифмическому тождеству получается 7. Опускаем основания степеней (7) в левой и в правой частях равенства. Остается: x2=1, отсюда х=±1. Ответ: С).

12. Возведем обе части равенства в квадрат. Применив формулы логарифма степени и логарифма произведения, получим квадратное уравнение относительно логарифма числа 5 по основанию х. Введем переменную у, решим квадратное уравнение относительно у и вернемся к переменной х. Найдем значения х и проанализируем ответы.

13. Задание: решить систему. Не будем решать — сделаем проверку. Подставим предложенные ответы во второе уравнение системы, так как оно проще: х+у=35. Из всех предложенных пар решений системы подходит только ответ D).

8+27=35 и 27+8=35. Подставлять эти пары в первое уравнение системы не стоит, а вот если бы ко второму уравнению подошел бы еще один из ответов, то пришлось бы делать подстановку и в первое равенство системы.

14. Область определения функции — это множество значений аргумента х, при которых правая часть равенства имеет смысл. Так как арифметический квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа, то должно выполняться условие: 6+2х≥ 0, отсюда следует, что 2х≥ -6 или х≥ -3. Так как знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, то запишем: х≠ 5. Получается, что можно брать все числа, большие или равные -3, но не равные 5. Ответ: [-3; 5)U(5; +∞).

15. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке, нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат этому отрезку, а затем из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

16. Рассмотрим круг, вписанный в правильный шестиугольник и вспомним, как выражается радиус вписанной окружности r через сторону правильного шестиугольника а. Найдем радиус, затем сторону и периметр шестиугольника.

17. Так как все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом, то вершина пирамиды проектируется в точку О - пересечения диагоналей прямоугольника, лежащего в основании пирамиды, ведь точка О должна быть равноудалена от всех вершин основания пирамиды.

Находим диагональ AC прямоугольника ABCD. AC2=AD2+CD2;

AC2=322+242=1024+576=1600 → AC=40см. Тогда ОС=20см. Так как Δ МОС – прямоугольный и равнобедренный (/ ОСМ=45°), то МО=ОС=20см. Применим формулу объема пирамиды, подставив нужные значения.

18. Всякое сечение шара плоскостью есть круг.

Пусть круг с центром в точке О1 и радиусом ОА перпендикулярен радиусу шара ОВ и проходит через его середину О1. Тогда в прямоугольном треугольнике АО1О гипотенуза ОА=10 см (радиус шара), катет ОО1=5см. По теореме Пифагора О1А2=ОА2-ОО12. Отсюда О1А2=102-52=100-25=75. Площадь сечения – это площадь нашего круга, найдем по формуле S=π r2=π ∙ O1A2=75π см2.

19. Пусть а1 и а2 – искомые координаты вектора. Так как векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Запишем: 2а1+7а2=0. Выразим а1 через а2. Тогда а1=-3, 5а2. Так как длины векторов равны, то имеем равенство: а12+а22=22+72. Подставим в это равенство значение а1. Получаем: (3, 5а2)2+а22=4+49; упрощаем: 12, 25а22+а22=53;

13, 25а22=53, отсюда а22=53: 13, 25=4. Получается два значения а2=±2. Если а2=-2, то а1=-3, 5∙ (-2)=7. Если а2=2, то а1=-7. Искомые координаты (7; -2) или (-7; 2). Ответ: В).

20. Упростим знаменатель дроби. Для этого раскроем скобки и приведем дроби под знаком корня к общему знаменателю.

21. Выражение в скобках приведем к общему знаменателю. Деление заменяем умножением на дробь, обратную делителю. Применяем формулы квадрата разности двух выражений и разности квадратов двух выражений. Сократим дробь.

22. Чтобы решить данную систему неравенств, нужно решить каждое неравенство отдельно и найти общее решение двух неравенств. Решаем 1-ое неравенство. Перенесем все слагаемые в левую часть, вынесем общий множитель за скобку.

x2∙ 4x-4x+1> 0;

x2∙ 4x-4x∙ 4> 0;

4x(x2-4)> 0. Так как показательная функция при любом показателе принимает только положительные значения, то 4х> 0, следовательно, и x2-4> 0.

(x-2)(x+2)> 0.

Решаем 2-ое неравенство.

0, 5x≥ 8.

Представляем левую и правую части в виде степеней с основанием 2.

2-x≥ 23. Так как показательная функция с основанием большим единицы, возрастает на R, опускаем основания, сохраняя знак неравенства.

-x≥ 3 → x≤ -3.

Находим общее решение.

Ответ: (-∞; -3].

23. По формуле приведения косинус преобразуется в синус 3х. После приведения подобных слагаемых и деления обеих частей неравенства на 2, получим простейшее неравенство вида: sin t > a. Решение этого неравенства находим по формуле:

arcsin a+2π n< t< π -arcsin a+2π n, nєZ. У нас t=3x.

24. Упростим данную функцию. По теореме Виета найдем корни квадратного трехчлена x2-x-6 (x1= -2, x2= 3), разложим знаменатель дроби на линейные множители (х-3)(х+2) и сократим дробь на (х-3). Найдем первообразную Н(х) полученной функции 1/(х+2).

25. Итак, 126 игроков сыграют 63 игры, из которых 63 участника выйдут победителями во второй тур. Всего во втором туре будут сражаться 63+1=64 участника. Они сыграют 32 игры, отсюда еще 32 победителя, которые сыграют 16 игр. 16 победителей сыграют 8 игр, 8 победивших сыграют 4 игры. Четверо выигравших проведут 2 игры, и, наконец, двоим победившим нужно будет сыграть последнюю игру. Считаем матчи: 63+32+16+8+4+2+1=126.

вариант 0003.

1. Число 45 пропорционально числам 4, 5 и 6. Если в задаче есть такие слова «пропорционально числам 4, 5 и 6″, то всегда обозначают одну часть через х. Тогда число 45=4х+5х+6х. Упрощаем: 15х=45, отсюда х=3. Меньшее число содержит 4х, значит, оно равно 4·3= 12.

2. Требуется решить уравнение |4-x|=1, 5. Идем от определения модуля числа: модуль неотрицательного числа равен самому этому числу, модуль отрицательного числа равен числу противоположному. Под знаком модуля могло быть как положительное число, так и отрицательное. Так и запишем:

4-х=1, 5 или 4-х=-1, 5;

-х=1, 5-4; -х=-1, 5-4.

-х=-2, 2; -х=-5, 5.

х=2, 2; х=5, 5.

3. Итак, автомобилист, выехавший из пункта А через полчаса после мотоциклиста, догнал его. Спрашивают, на каком расстоянии от А, если скорость мотоциклиста 48, 4 км/ч, а скорость автомобиля больше скорости мотоцикла в

4. Отметим на числовой прямой «пустыми» точками -2 и 3. Решаем неравенство методом интервалов. Проверим знак дроби при х=10, подставив значение 10. Расставим знаки на промежутках. Так как у нас неравенство больше нуля, то выбираем промежуток знака «+».

5. Упростим данное выражение cos(30°+α)-cos(30°-α), используя формулу разности косинусов двух углов. Получим минус удвоенное произведение синуса полусуммы на синус полуразности: cos(30°+α)-cos(30°-α)= -2sin30°sinα = -sinα.

6. Нам дано однородное линейное уравнение. Решают его делением обеих частей равенства на косинус данного аргумента. В результате получают простейшее уравнение с тангенсом.

7. Известны девятый член (a9=12) и разность (d=1, 5) арифметической прогрессии.

Требуется найти первый член a1 данной арифметической прогрессии. Применим формулу n-го члена арифметической прогрессии: an=a1+(n-1)d. Подставим в нее наши данные и получим: a9=a1+8d;

12=a1+8∙ 1, 5;

12+a1=12 → a1=0.

8. Площадь фигуры, ограниченной данными линиями y=x2, y=0, x=2, найдем с помощью определенного интеграла. Искомая площадь будет равна определенному интегралу от нуля до двух функции икс в квадрате по дэ икс. Если вам это понятно — значит, вы представляете себе графики данных линий и так и должно быть! Если непонятно — строим графики и вспоминаем формулу площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), а слева и справа — прямыми х=a, x=b.

9. По условию внешний угол при вершине А треугольника АВС в два раза больше одного из несмежных углов треугольника, а по определению, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Получается, что эти несмежные углы равны между собой. Отсюда следует, что данный треугольник является равнобедренным с вершиной А. И если мы проведем медиану из вершины А, то она будет являться и высотой и биссектрисой.

10. Найдем корень данного уравнения и подставим его значение в выражение (-13х+2)2+х.

11. Дано уравнение (100x)lgx=x3. Требуется найти сумму его корней. Так как и основание и показатель степени содержат переменную, то решение уравнения начинаем с логарифмирования обеих частей равенства по основанию 10 (у нас ведь десятичный логарифм).

lg(100x)lgx=lgx3; логарифм степени равен произведению показателя этой степени на логарифм основания:

lgx∙ lg(100x)=3lgx. Перенесем 3lgx в левую часть равенства и вынесем lgx за скобки: lgx∙ lg(100x)-3lgx =0;

lgx∙ (lg(100x)-3)=0. Каждый из множителей может быть равен нулю. Если lgx=0, то x=100=1. Если lg(100x)-3=0, то lg(100x)=3, откуда 100x=103; 100x=1000; x=10. Сумма квадратов корней: 12+102=1+100=101.

12. Упростим данную систему уравнений, освободившись от знака логарифма во 2-ом уравнении.

log5(2y+10x+3)=2 → 2y+10x+3=52 → 2y+10x+3=25; 10x+2y=22. Выразим 2х из первого уравнения: 2х=20-3у. Подставим это значение во 2-ое уравнение, имея ввиду, что 10х=5∙ 2х. Тогда вместо 10x+2y=22 запишем:

5∙ (20-3у)+2у=22. Упростим: 100-15у+2у=22 или -13у=-78, откуда у=6. Подставляем это значение в выражение 2х=20-3у. Получаем:

2х=20-3∙ 6=2. Тогда х=1. Решением системы служит пара значений переменных: (1; 6).

13. Возведем обе части равенства в квадрат. Получаем: x-5=a2 → x=a2+5.

14. Область определения функции — это множество таких значений х, при которых выражение в правой части равенства имеет смысл. Так как у нас дробь, то знаменатель ее должен быть отличен от нуля, т.е. x+3x2≠ 0. Приравняем знаменатель к нулю, решим уравнение, а затем исключим корни этого уравнения.

15. Требуется найти производную сложной функции y=(lnx)2. Итак, мы имеем степень, значит, берем производную по формуле производной степени. Далее: основание этой степени — натуральный логарифм, — берем производную от натурального логарифма и умножаем производную степени на производную натурального логарифма.

16. Стороны треугольника ВА=14 см и ВС=17 см, а косинус угла В между ними равен (-8/17). Нужно найти площадь треугольника. Мы знаем формулу площади треугольника по двум сторонам и углу между ними: S=(1/2)ac·sinβ. Зная косинус угла В, вычислим синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество sin2β + cos2β =1, и подставим в формулу площади.

17. Дан равносторонний треугольник. Точка, равноудаленная от сторон треугольника на 5 см, от плоскости отстоит на 3 см. Нужно найти площадь этого треугольника.

Смотрите видео решение.

18. Основания призмы — правильные треугольники со стороной 6 см. Требуется найти объем призмы, если ее боковое ребро равно Решение. Применяем формулу объема призмы: V=Sосн.∙ H, где Sосн. – площадь основания призмы, значит, в нашей задаче, площадь правильного треугольника со стороной 6 см. H – высота призмы, а так как у нас призма прямая, то в качестве высоты можно взять длину бокового ребра.

19. Чтобы найти координаты точек пересечения окружности x2+y2-10x-6y+9=0 с осью абсцисс, подставим у=0, так как точки, лежащие на оси Ох имеют ординату, равную нулю, и решим получившееся квадратное уравнение х2-10х+9=0. Подбираем корни по теореме Виета: х1=1, х2=9. Искомые точки пересечения: (1; 0) и (9; 0).

20. Разложим числитель первой дроби по формуле разности кубов двух выражений a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). У нас а6-64=(а2)3-43=(а2-4)(а4+4а2+16). В знаменателе первой дроби такое же выражение, как во вторых скобках разложения. Сокращаем. Остается а2-4. Преобразуем вторую дробь. Числитель второй дроби разложим по формуле разности квадратов двух выражений а2-b2=(a-b)(a+b). У нас а4-16=(а2)2-42=(а2-4)(а2+4). Сократим вторую дробь на (а2+4), останется: а2-4. Имеем: а2-4+ а2-4=2а2-8.

21. Чтобы найти значение данного выражения, выразим а из предложенного равенства (из пропорции): 3(a+b)=2(a-2b). Раскрываем скобки: 3a+3b=2a-4b → a=-7b. Теперь подставим вместо а в данное выражение значение (-7b) и упростим.

22. Представим единицу в правой части неравенства в виде логарифма по основанию (2х+1). При потенцировании будем учитывать, что от значения основания логарифма (2х+1) будет зависеть, возрастает функция (если 2х+1> 1) или убывает (если 0< 2x+1< 1). Если функция возрастает, то знак неравенства сохраним, если функция убывает, то знак неравенства поменяем на противоположный. Кроме этого, учтем, что под знаком логарифма могут быть только положительные числа.

23. Упростим предложенное неравенство: sinx+cos2x> 1. Есть формула: 1-cos2α =2sin2α. Перепишем данное неравенство в виде:

sinx-(1-cos2x)> 0. Применим формулу и получим: sinx-2sin2x> 0. Сделаем замену переменной. Пусть sinx=y. Тогда: y-2y2> 0 → y(1-2y)> 0. Решим полученное неравенство методом интервалов.

24. Дана функция f(x)=6x2-4x+1. Известно, что F(x) является первообразной для f(x), причем, F(-1)=2. Требуется найти F(1). Для этого запишем F(x) для данной функции, найдем значение постоянной величины С, а затем искомое значение F(1).

Находим значение С, используя равенство: F(-1)=2.

2=2∙ (-1)3-2∙ (-1)2-1+С;

2=-2-2-1+C → C=7. Тогда первообразная F(x)=2x3-2x2+x+7. Подставим вместо х число 1 и получим: F(1)= 2-2+1+7= 8.

25. Пусть в актовом зале х скамеек. Если на каждую скамейку посадить по 5 учеников, то четверо останутся без места, значит, всего 5х+4 учащихся. Если на каждую скамью посадить по 6 детей, то 2 места останутся свободными. Получается 6х-2 учащихся. Но учащихся определенное количество — имеем равенство: 5х+4=6х-2. Отсюда х=6. Следовательно, в зале 6 скамеек, а учеников 5·6+4= 34.