Представление периодических функций времени в частотной области. Ряд Фурье.

Синусоидальные или косинусоидальные помехи (гармонические процессы) могут быть представлены как во временной, так и в частотной областях непосредственно (рис. 1.7.). В частотной области помеха характеризуется угловой частотой ω и частотой колебаний .

Несинусоидальные периодические функции - например, пи­лообразной или прямоугольной формы импульсы напряжения или тока выпрямителей которые, в некоторых случаях, возможно описать аналитически, - могут быть представлены в частотной области как бесконечная сумма сину­соидальных и косинусоидальных колебаний, т. e. рядом Фурье.

Рис 1.7. Представление синусоидальной помехи вовременной и частотной областях

Например, можно представить себе несимметричное напряже­ние прямоугольной формы возникшим как наложение основно­го колебания и основной частоты и бесконечно многих гармонических колебаний с частотами Зависимость амплитуды отдельных колебаний от частоты представляет собой дискретный линейчатый спектр (рис. 1.8.) Наименьшая встре­чающаяся в линейчатом спектре частота - основная частота.

Частоты высших гармоник являются значениями, кратными этой основной частоте, например .

Рис 1.8. Периодическая несинусоидальная функция

Аналитически ряд Фурье любой функции времени может быть представлен в различных формах:

Нормальная:

,

, , . (1.1.)

Коэффициенты и - амплитуды отдельных колебаний. Составляющая соответствует среднему арифметическому зна­чению функции времени (постоянная составляющая).

Амплитудно-фазовая: Так как синусоидальные колебания c соответствующим фазо­вым сдвигом могут быть представлены и как косинусоидальные, например , вместо нормальной формы часто применяют амплитудно-фазовую форму:

, (1.2.)

где ;

Комплексная.

Если дополнять вышеприведенные уравнения мнимой частью и заменить тригонометрические функции по формуле Эйлера экспоненциальными функциями, получаем уравнение в комплексной форме:

, (1.3.)

Где ,

Рис 1.9. Амплитудный и фазовый спектры комплексного ряда Фурье

Так как функция будучи представленная комплексным рядом Фурье (1.3.) остается действительной, то в правой части вводятся отрицательные частоты (чтобы мнимые части сократились). Учет отрицательных частот приводит к двустороннему спектру (рис. 1.9.). Идентичные вещественные части обоих слагаемых в (1.3.) за знаком суммы (для положительных и отрицательных частот ) образуют физически измеримую амплитуду , причем

, .

При анализе ЭМС вместо двустороннего математического спектра чаще всего рассчитывают односторонний «физический» спектр только для положительных n, амплитуды которого отличаются на коэффициент 2 от амплитуд двустороннего спектра. Значения амплитуд одностороннего спек­тра измеримы, они совпадают со значениями коэффициентов косинусоидальной формы, т.е. соответствуют значительным час­тям векторов переменного напряжения той же частоты.

В заключение на рис. 1.10. показаны импульсы прямоугольной формы двух периодически изменяющихся напряжений одной и той же основной частоты, однако различной скважности, и отно­сящиеся к ним линейчатые спектры. Из вышесказанного можно установить следующее: наименьшая частота является основной частотой. Ее значе­ние связано со значением периода Т:

Амплитуды высших гармоник появляются с одинаковым ин­тервалом их частоты кратны основной частоте

Рис. 1.10. Линейчатые спектры двух периодических последовательностей прямоугольных импульсов напряжений с личной скважностью (1: 2):

функция - огибающая спектральных амплитуд (сплошная кривая); функция - огибающая функции (пунктирная кривая)

Ряд Фурье для последовательности прямоугольных импульсов имеет вид:

Коэффициенты (спектральные амплитуды) (без постоянной составляющей) определяются формулой:

Огибающая спектральных амплитуд следует функции .Первое значение нуля этой функции соответствует обратной величине длительности импульса

Другие нулевые значения следуют с интервалом . На практике нулевые значения появляются не столь явно вы­раженными, как на рис. 1.10, так как из-за неизбежных асиммет­рий (например, экспоненциальных нарастаний и спада прямоу­гольных импульсов) они сглаживаются.

Постоянный коэффициент при функции равный при неизменном периоде пропорционален пло­щади импульса . Таким образом, высокие узкие импульсы при низких частотах могут иметь такой же спектр, как низкие широкие. Поэтому в вышеприведенном примере спектральные амплитуды из-за меньшей на 50% площади импульсов имеют только половинное значение.

Огибающая амплитуд функции есть функция Для прямоугольных импульсов с бесконечно большой длительностью периода Т спектральные линии и максимумы функции бес­конечно сближаются. Получается известный спектр ступен­чатой функции.

Подобным образом можно рассмотреть и другие формы им­пульсов с другими огибающими, например, треугольные импуль­сы, огибающая которых выражается функцией