Оценка достоверности различий между двумя средними величинами

Для определения достоверности различия между двумя средними (фактическое значение t-критерия) применяется следующая формула:

, где

М₁ и М₂ — средние величины;

m₁ и m₂ — ошибки соответствующих средних величин,

t — коэффициент достоверности.

Пример 1. При обследовании двух групп девятилетних мальчиков были получены следующие данные: в первой группе окружность груди у мальчиков составила (М ± m) 58, 69 ± 0, 26 см, во второй — 62, 16 ± 0, 02 см. В первой группе было 48 мальчиков, во второй — 86. Требуется определить отличаются ли статистически средние величины окружности груди у мальчиков первой и второй групп.

Решение. Для решения используется вышеприведенная формула:

.

Для оценки достоверности различия необходимо определить число степеней свободы:

f = n₁ + n₂ – 2 = 48 + 86 – 2 = 132.

По табл. 13 определяется t_st = 1, 96 (1 – a < 0, 05);
2, 58 (1 – a < 0, 01) и 3, 29 (1 – a < 0, 001).

t = 13, 38 > 3, 29 > 2, 58 > 1, 96.

Следовательно, средние величины, характеризующие окружность груди у двух групп девятилетних мальчиков, статистически отличаются с вероятностью a > 99, 9%.

Если средние величины двух сопоставляемых совокупностей близки по значению, а их среднеквадратические отклонения значительно отличаются, то достоверность различия между совокупностями определяется с использованием критерия F:

, где

F — критерий Фишера,

s₁ — большее среднее квадратическое отклонение,

s₂ — меньшее среднее квадратическое отклонение соответствующих совокупностей

Пример 2. Заведующий отделением челюстно-лицевой хирургии утверждает, что за год ему удалось сократить длительность госпитализации больных, попадающих в определенный клинико-экономический стандарт (КЭС), на 2 дня. Действительно, экспертиза n₁=10 историй болезни всех госпитализированных по данному КЭС в январе текущего года и n₂=13 историй болезни всех госпитализированных в январе прошлого года показала, что средняя длительность пребывания в стационаре в текущем году составила М₁ = 16 дней (s₁ = 4 дня), а в прошлом году — М₂ = 18 дней (s₂ = 2 дня). Половозрастной состав госпитализированных примерно одинаков.

1. Можно ли с 95-процентной вероятностью утверждать, что средняя длительность госпитализации изменилась статистически значимо?

2. Прав ли заведующий отделением, утверждая, что деятельность отделения по лечению данного КЭС существенно изменилась?

Для ответа на первый вопрос используем метод, описанный в предыдущем примере (t-критерий):

.

Подставляя численные значения, получаем: t = 1, 448.

Число степеней свободы n₁ + n₂ ─ 2 = 21, t_st = 2, 08 (находим по табл. 13):

t < t_st — различие незначимо (а, следовательно, может объясняться просто статистическим разбросом). Для того чтобы выяснить, действительно ли срок госпитализации снизился, необходимо провести дополнительные наблюдения (возможно, собрав данные за несколько месяцев каждого года).

Чтобы ответить на второй вопрос, используем F-критерий.

= 4 число степеней свободы:

f₁ = 10 – 1 = 9, f₂=13 – 1 = 12.

По таблице 14 определяем F_st = 2, 80; F > F_st . Различие статистически значимо с вероятностью выше 95%.

Таблица 14

Таблица пограничных значений показателей достоверности (F табл.)
при a = 0, 95 (верхняя строка) и a = 0, 99 (нижняя строка)

	f1	f1 - степени свободы для большей дисперсии
f2																			¥
	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13	161 4052 18, 51 98, 49 10, 13 34, 12 7, 71 21, 20 6, 61 16, 26 5, 99 13, 74 5, 59 12, 25 5, 32 11, 26 5, 12 10, 56 4, 96 10, 04 4, 84 9, 85 4, 75 9, 33 4, 67 9, 07	200 4999 19, 00 99, 01 9, 55 30, 81 6, 94 18, 00 5, 79 13, 27 5, 14 10, 92 4, 74 9, 55 4, 46 8, 65 4, 26 8, 02 4, 10 7, 56 3, 98 7, 20 3, 88 6, 93 3, 80 6, 70	216 5403 19, 16 99, 17 9, 28 29, 46 6, 59 16, 69 5, 41 12, 06 4, 76 9, 78 4, 35 8, 45 4, 07 7, 59 3, 86 6, 99 3, 71 6, 55 3, 59 6, 22 3, 49 5, 95 3, 41 5, 74	225 5625 19, 25 99.25 9, 12 28, 71 6, 39 15, 98 5, 19 11, 39 4, 53 9, 15 4, 12 7, 85 3, 84 7, 01 3, 63 6, 42 3, 48 5, 99 3, 36 5, 67 3, 26 5, 41 3, 18 5, 20	230 5764 19, 30 99, 30 9, 01 28, 24 6, 26 15, 52 5, 05 10, 97 4, 39 8, 75 3, 97 7, 46 3, 69 6, 63 3, 48 6, 06 3, 33 5, 64 3, 20 5, 32 3, 11 5, 06 3, 02 4, 86	234 5889 19, 33 99, 33 8, 94 27, 91 6, 16 15, 21 4, 95 10, 67 4, 28 8, 47 3, 87 7, 19 3, 58 6, 37 3, 37 5, 80 3, 22 5, 39 3, 09 5, 07 3, 00 4, 82 2, 92 4, 62	237 5928 19, 36 99, 34 8, 88 27.67 6, 09 14, 98 4, 88 10, 45 4, 21 8, 26 3, 79 7, 00 3, 50 6, 19 3, 29 5, 62 3, 14 5, 21 3, 01 4, 88 2, 92 4, 65 2, 84 4, 44	239 5981 19, 37 99, 36 8, 84 27, 49 6, 04 14, 80 4, 82 10, 27 4, 15 8, 10 3, 73 6, 84 3, 44 6, 03 3, 23 5, 47 3, 07 5, 06 2, 95 4, 74 2, 85 4, 50 2, 77 4, 30	241 6022 19, 38 99, 38 8, 81 27, 34 6, 0 14, 66 4, 78 10, 15 4, 10 7, 98 3, 68 6, 71 3, 39 5, 91 3, 18 5, 35 3, 02 4, 95 2, 90 4, 63 2, 80 4, 39 2, 72 4, 19	242 6056 19, 39 99, 40 8, 78 27, 23 5, 96 14, 54 4, 74 10, 05 4, 06 7, 87 3, 63 6, 62 3, 34 5, 82 3, 13 5, 26 2, 97 4, 85 2, 86 4, 54 2, 76 4, 30 2, 67 4, 10	243 6082 19, 40 99, 41 8, 76 27, 13 5, 93 14, 45 4, 70 9, 96 4, 03 7, 79 3, 60 6, 54 3, 31 5, 74 3, 10 5, 18 2, 94 4, 78 2, 82 4, 46 2, 72 4, 22 2, 63 4, 02	244 6106 19, 41 99, 42 8, 74 27, 05 5, 91 14, 37 4, 68 9, 89 4, 00 7, 72 3, 57 6, 47 3, 28 5, 67 3, 07 5, 11 2, 91 4, 71 2, 79 4, 40 2, 69 4, 16 2, 60 3, 96	245 6142 19, 42 99, 43 8, 71 26, 92 5, 87 14, 24 4, 64 9, 77 3, 96 7, 60 3, 52 6, 35 3, 23 5, 56 3, 02 5, 00 2, 86 4, 60 2, 74 4, 29 2, 64 4, 05 2, 55 3, 85	246 6169 19, 43 99, 44 8, 69 26, 83 5, 84 14, 15 4, 60 9, 68 3, 92 7, 52 3, 49 6, 27 3, 20 5, 48 2, 98 4, 92 2, 82 4, 52 2, 70 4, 21 2, 60 3, 98 2, 51 3, 78	248 6208 19, 44 99, 45 8, 66 26, 69 5, 80 14, 02 4, 56 9, 55 3, 87 7, 39 3, 44 6, 15 3, 15 5, 36 2, 93 4, 80 2, 77 4, 41 2, 65 4, 10 2, 54 3, 86 2, 46 3, 67	249 6234 19, 45 99, 46 8, 64 26, 60 5, 77 13, 93 4, 53 9, 47 3, 84 7, 31 3, 41 6, 07 3, 12 5, 28 2, 90 4, 73 2, 74 4, 33 2, 61 4, 02 2, 50 3, 78 2, 42 3, 59	250 6258 19, 46 99, 47 8, 62 26, 50 5, 74 13, 83 4, 50 9, 38 3, 81 7, 23 3, 38 5, 98 3, 08 5, 20 2, 86 4, 64 2, 70 4, 25 2, 57 3, 94 2, 46 3, 70 2, 38 3, 51	254 6366 19, 50 99, 50 8, 53 26, 12 5, 63 13, 46 4, 36 9, 02 3, 67 6, 88 3, 23 5, 65 2, 93 4, 86 2, 71 4, 31 2, 54 3, 91 2, 40 3, 60 2, 30 3, 36 2, 21 3, 16

Продолжение

Таблица пограничных значений показателей достоверности (F табл.)
при a = 0, 95 (верхняя строка) и a = 0, 99 (нижняя строка)

	f1	f1 - степени свободы для большей дисперсии
f2																			¥
	14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24	4, 60 8, 86 4, 54 8, 68 4, 49 8, 53 4, 45 8, 40 4, 41 8, 28 4, 38 8, 18 4, 35 8, 10 4, 32 8, 02 4, 30 7, 94 4, 28 7, 88 4, 26 7, 82	3, 74 6, 51 3, 68 6, 36 3, 63 6, 23 3, 59 6, 11 3, 55 6, 01 3, 52 5, 93 3, 49 5, 85 3, 47 5, 78 3, 44 5, 72 3, 42 5, 66 3, 40 5, 61	3, 34 5, 56 3, 29 5, 42 3, 24 5, 29 3, 20 5, 18 3, 16 5, 09 3, 13 5, 01 3, 10 4, 94 3, 07 4, 87 3, 05 4, 82 3, 03 4, 76 3, 01 4, 72	3, 11 5, 03 3, 06 4, 89 3, 01 4, 77 2, 96 4, 67 2, 93 4, 58 2, 90 4, 50 2, 87 4, 43 2, 84 4, 37 2, 82 4, 31 2, 80 4, 26 2, 78 4, 22	2, 96 4, 69 2, 90 4, 56 2, 85 4, 44 2, 81 4, 34 2, 77 4, 25 2, 74 4, 17 2, 71 4, 10 2, 68 4, 04 2, 66 3, 99 2, 64 3, 94 2, 62 3, 90	2, 85 4, 46 2, 79 4, 32 2, 74 4, 20 2, 70 4, 10 2, 66 4, 01 2, 63 3, 94 2, 60 3, 87 2, 57 3, 81 2, 55 3, 76 2, 53 3, 71 2, 51 3, 67	2, 77 4, 28 2, 70 4, 14 2, 66 4, 03 2, 62 3, 93 2, 58 3, 85 2, 55 3, 77 2, 52 3, 71 2, 49 3, 65 2, 47 3, 59 2, 45 3, 54 2, 43 3, 50	2, 70 4, 14 2, 64 4, 00 2, 59 3, 89 2, 55 3, 79 2, 51 3, 71 2, 48 3, 63 2, 45 3, 56 2, 42 3, 51 2, 40 3, 45 2, 38 3, 41 2, 36 3, 36	2, 65 4, 03 2, 59 3, 89 2, 54 3, 78 2, 50 3, 68 2, 46 3, 60 2, 43 3, 52 2, 40 3, 45 2, 37 3, 40 2, 35 3, 35 2, 32 3, 30 2, 30 3, 25	2, 60 3, 94 2, 55 3, 80 2, 49 3, 69 2, 45 3, 59 2, 41 3, 51 2, 38 3, 43 2, 35 3, 37 2, 32 3, 31 2, 30 3, 26 2, 28 3, 21 2, 26 3, 17	2, 56 3, 86 2, 51 3, 73 2, 45 3, 61 2, 41 3, 52 2, 37 3, 44 2, 34 3, 36 2, 31 3, 30 2, 28 3, 24 2, 26 3, 18 2, 24 3, 14 2, 22 3, 09	2, 53 3, 80 2, 48 3, 67 2, 42 3, 55 2, 38 3, 45 2, 34 3, 37 2, 31 3, 30 2, 28 3, 23 2, 25 3, 17 2, 23 3, 12 2, 20 3, 07 2, 18 3, 03	2, 48 3, 70 2, 43 3, 56 2, 37 3, 45 2, 33 3, 35 2, 29 3, 27 2, 26 3, 19 3, 23 3, 13 2, 20 3, 07 2, 18 3, 02 2, 14 2, 97 2, 13 2, 93	2, 44 3, 62 2, 39 3, 48 2, 33 3, 37 2, 29 3, 27 2, 25 3, 19 2, 21 3, 12 2, 18 3, 05 2, 15 2, 99 2, 13 2, 94 2, 10 2, 89 2, 09 2, 85	2, 39 3, 51 2, 33 3, 36 2, 28 3, 25 2, 23 3, 16 2, 19 3, 07 2, 15 3, 00 2, 12 2, 94 2, 09 2, 88 2, 07 2, 83 2, 04 2, 78 2, 02 2, 74	2, 35 3, 43 2, 29 3, 29 2, 24 3, 18 2, 19 3, 08 2, 15 3, 00 2, 11 2, 92 2, 08 2, 86 2, 05 2, 80 2, 03 2, 75 2, 00 2, 70 1, 98 2, 66	2, 31 3, 34 2, 25 3, 20 2, 20 3, 10 2, 15 3, 00 2, 11 2, 91 2, 07 2, 84 2, 04 2, 77 2, 00 2, 72 1, 98 2, 67 1, 96 2, 62 1, 94 2, 58	2, 13 3, 00 2, 07 2, 87 2, 01 2, 75 1, 96 2, 65 1, 92 2, 57 1, 88 2, 49 1, 84 2, 42 1, 81 2, 36 1, 78 2, 31 1, 76 2, 26 1, 73 2, 21

Продолжение

Таблица пограничных значений показателей достоверности (F табл.)
при a = 0, 95 (верхняя строка) и a = 0, 99 (нижняя строка)

	f1	f1 - степени свободы для большей дисперсии
f2																			¥
	25 26 27 28 29 30 ¥	4, 24 7, 77 4, 22 7, 72 4, 21 7, 68 4, 20 7, 64 4, 18 7, 60 4, 17 7, 56 3, 84 6, 64	3, 38 5, 57 3, 37 5, 53 3, 35 5, 49 3, 34 5, 45 3, 33 5, 42 3, 32 5, 39 2, 99 4, 60	2, 99 4, 68 2, 98 4, 64 2, 96 4, 60 2, 95 4, 57 2, 93 4, 54 2, 92 4, 51 2, 60 3, 78	2, 76 4, 18 2, 74 4, 14 2, 73 4, 11 2, 71 4, 07 2, 70 4, 04 2, 69 4, 02 2, 37 3, 32	2, 60 3, 86 2, 59 3, 82 2, 57 3, 79 2, 56 3, 76 2, 54 3, 73 2, 53 3, 70 2, 21 3, 02	2, 49 3, 63 2, 47 3, 59 2, 46 3, 56 2, 44 3, 53 2, 43 3, 50 2, 42 3, 47 2, 09 2, 80	2, 41 3, 46 2, 39 3, 42 2, 37 3, 39 2, 36 3, 36 2, 35 3, 33 2, 34 3, 30 2, 01 2, 64	2, 34 3, 32 2, 32 3, 29 2, 30 3, 26 2, 29 3, 23 2, 28 3, 20 2, 27 3, 17 1, 94 2, 51	2, 28 3, 21 2, 27 3, 17 2, 25 3, 14 2, 24 3, 11 2, 22 3, 08 2, 21 3, 06 1, 88 2, 41	2, 24 3, 13 2, 22 3, 09 2, 20 3, 06 2, 19 3, 03 2, 18 3, 00 2, 16 2, 98 1, 83 2, 32	2, 20 3, 05 2, 18 3, 02 2, 16 2, 98 2, 15 2, 95 2, 14 2, 92 2, 12 2, 90 1, 79 2, 24	2, 16 2, 99 2, 15 2, 96 2, 13 2, 93 2, 12 2, 90 2, 10 2, 87 2, 09 2, 84 1, 75 2, 18	2, 11 2, 89 2, 10 2, 86 2, 08 2, 83 2, 06 2, 80 2, 05 2, 77 2, 04 2, 74 1, 69 2, 07	2, 06 2, 81 2, 05 2, 77 2, 03 2, 74 2, 02 2, 71 2, 00 2, 68 1, 99 2, 66 1, 64 1, 99	2, 00 2, 70 1, 99 2, 66 1, 97 2, 63 1, 96 2, 60 1, 94 2, 57 1, 93 2, 55 1, 57 1, 87	1, 96 2, 62 1, 95 2, 58 1, 93 2, 55 1, 91 2, 52 1, 90 2, 49 1, 89 2, 47 1, 52 1, 79	1, 92 2, 54 1, 90 2, 50 1, 88 2, 47 1, 87 2, 44 1, 85 2, 41 1, 84 2, 38 1, 46 1, 69	1, 71 2, 17 1, 69 2, 13 1, 67 2, 10 1, 65 2, 06 1, 64 2, 03 1, 62 2, 01 1, 00 1, 09

На что указывает это различие? Прежде всего, на то, что деятельность отделения по лечению данного МЭС действительно изменилась. Но изменилась не длительность пребывания в стационаре, а её разброс.

Это изменение может быть обусловлено, например, введением новых интенсивных методов лечения, позволяющих быстро добиться выздоровления с соблюдением условий стандарта. Последовавшее за этим улучшение репутации отделения, привело к тому, что в него стали направлять больных с более тяжелой формой заболевания, которым потребовалась более длительная госпитализация.

Но здесь возможна и другая причина. Лечение в отделении стало хуже, и средняя длительность пребывания в стационаре немного возросла. Однако для получения «хорошей статистики» в него были госпитализированы несколько более легких больных, выписанных в короткие сроки.

Таким образом, статистическое исследование может лишь указать на происшедшие изменения (или их отсутствие). Выявить же причины может лишь врачебная экспертиза.

Тем не менее, данный пример показывает, что очень важен не только анализ средних (указавший в нашем случае на незначимость различий длительности госпитализации и ошибочность оптимистических выводов заведующего отделением), но и анализ разброса данных (F-критерий), показавший, что деятельность отделения действительно изменилась.

Порядок оценки достоверности различий двух серий наблюдений, проведенных на одной и той же совокупности (разностный метод критерия Стьюдента)

Пример. Требуется определить, достоверно ли изменение среднего уровня минимального артериального давления до и после применения эфедрина в эксперименте на животных (табл. 15).

Таблица 15

Влияние эфедрина на минимальное артериальное давление у животных

В графах 2 и 3 таблицы представлены сведения о величине минимального артериального давления до и после инъекции эфедрина в эксперименте на животных.

Решение. Оценка достоверности строится на основе нулевой гипотезы (Но), согласно которой мы предполагаем, что совокупности статистически не отличаются.

Для оценки достоверности различий между совокупностями необходимо найти разность показателей артериального давления (V₂ – V₁), затем определить среднюю величину этой разности MD (графа 4). Для оценки достоверности полученной разности (МD) рассчитывается t-критерий:

, где

mD — средняя ошибка разности.

, где

s — среднеквадратическое отклонение,

n — число наблюдений.

, где

d — отклонение разности артериального давления по каждому животному от средней величины разности (графа 5).

Число степеней свободы f = n – 1 = 5 – 1 = 4.

Н_о принимается при t < t_st. Из табл. 1 получаем:

t_st(a=0, 95) = 2, 78,

t_st(a=0, 99) = 4, 60.

Т. к. t_st(a=0, 95)< t< t_st(a=0, 95), гипотеза Н_о отвергается на уровне a=0, 95 и принимается на уровне a=0, 99. Это значит, что эфедрин влияет на повышение артериального давления у животных с вероятностью большей 95%, но меньшей 99%.

Для некоторых клинических проблем наши знания о механизме заболевания, основанные на работе с клеточными культурами, подопытными животными и другими лабораторными моделями стали столь экстенсивными, что возникает искушение предсказывать эффекты лечения на человеке без проведения формальных проверок. К сожалению, даже в отношении большинства хорошо изученных заболеваний наши медицинские знания еще далеко не полные. Полагаясь только на наше сегодняшнее понимание механизмов болезни без проверки клинических идей на человеке, мы можем получить неприятные сюрпризы. При проверке эффективности новых методов лечения используется стандартная технология статистических оценок.

Пример: Диссеминированный опоясывающий герпес является серьезным и потенциально фатальным заболеванием для пациентов с пониженной устойчивостью к инфекциям. Лекарство цитозина арабинозид (Ara-C) препятствует синтезу пиримидина и подавляет in vitro ДНК нескольких вирусов, включая вирус опоясывающего герпеса. Поэтому казалось, что Ara-C может быть полезным при лечении этого заболевания. Для проверки этого предположения 39 пациентам или давали Ara-C, или не давали вообще никакого активного лекарства и провели наблюдение за течением заболевания. Результаты этого исследования приведены в таблице 16.

Таблица 16

Формальная проверка лечения, обещающего эффект. Действие антивирусного агента цитозина арабинозида (Ara-C) на диссеминированный опоясывающий герпес

Пациенты, принимавшие Ara-С, чувствовали себя хуже, чем пациенты, не получавшие никакого специфического лечения. Одним из объяснений полученных данных было следующее: подавление Ara-С иммунного ответа больного перевешивало антивирусный эффект данного лекарства, в результате чего положительный эффект препарата был сведен на нет.

Поэтому, почти во всех случаях необходимо проверять терапевтические гипотезы путем клинического исследования, при котором собираются данные по клинической симптоматике у больных, принимавших непосредственное участие в испытании. Как сказал один автор, «лечение должно назначаться не потому, что оно может помочь, а потому, что оно помогает».

Пациенты, рассматриваемые как потенциально пригодные к участию в испытании, отбираются из большого числа больных. Отбираются только те из них, которые имеют интерес и выразили согласие на проведение исследования. Затем они разбиваются на две группы, имеющие сравнимый прогноз заболевания. Одна группа, называемая экспериментальной или проходящей лечение, подвергается определенному лечению, которое, как полагают, должно помочь. Другая группа называется контрольной или группой сравнения, за данной группой осуществляется точно такой же уход за тем исключением, что ей не назначается данное лечение. Проводится клиническое наблюдение за обеими группами, а также за любыми отличиями, приписываемыми данному лечению.

Главная причина именно такой структуры клинических проверок состоит в том, что она позволяет избежать необъективность или систематическую ошибку при сравнении соответствующей эффективности двух или более видов лечения. Надежность клинических проверок зависит от того, насколько хорошо они дают равное распределение всех детерминант прогноза в экспериментальной и контрольной группах пациентов, за исключением той, которая подвергается проверке.

Из всех тех факторов, которые влияют на объективность сравнения, пять являются основополагающими.

· Четко ли определены сравниваемые группы?

· Отобраны ли пациенты контрольной и экспериментальной групп из одного места (лечебного учреждения) и в один и тот же временной промежуток?

· Помещены ли в контрольную или экспериментальную группы без предвзятости?

· Проводится ли испытуемое лечение, и только это лечение, всем больным экспериментальной группы и никому в контрольной группе?

· Оценивается ли результат, не взирая на статус лечения?

Таким образом, сравнение двух серий наблюдений позволит выбрать лучшую или отвергнуть неэффективный способ лечения.