Основы метрологии и измерений 3 страница

Для проведения измерений необходимы объект измерения (измеряемая величина), средства и метод измерения, а также оператор. Кроме того, измерения выполняют в какой-либо среде и по определенным правилам. Принято объект измерения считать неизменным, т.е. всегда предполагается, что существует истинное (действительное) постоянное значение измеряемой величины. Остальные составляющие процесса измерений — средства, условия и даже оператор — все время меняются. Эти изменения могут быть случайными, их мы не в состоянии предвидеть, и не случайными, но такими, которые мы не смогли заранее предусмотреть, оценить и учесть. Если они влияют на результаты измерений, то при повторных измерениях одной и той же величины результаты будут отличаться один от другого тем сильнее, чем больше факторов не учтено и чем сильнее они меняются. Всегда есть определенный предел числу явлений, влияющих на результат измерения, на его погрешность, которые принимаются в расчет.

При постановке измерительной задачи выделяют «существенные» свойства объекта измерения, конкретизируют рабочие условия, выделяют физическую величину, задают требуемую погрешность измерения и затем принимают модель объекта измерения. Моделью объекта измерения может служить приближенное описание взаимодействия всех «существенных» свойств объекта (алгоритм функционирования), математическое описание в виде формул, описывающих функциональную связь между входным и выходным сигналом и др. В общем случае она должна достаточно точно отображать взаимосвязь между определяемой величиной, характеристиками (свойствами) объекта и влияющими величинами. В большинстве практических измерительных задач используют математическую модель объекта измерения, представляющую собой совокупность математических зависимостей, которые описывают существенные свойства объекта измерения.

Для получения оценок качества измерения и выработки требования к измерительной аппаратуре используют различные модели измерительного процесса, но базовыми являются две из них: классическая (каноническая) и вероятностная.

Каноническая модель измерительного процесса, понимаемого как эксперимент, условия которого строго определены и соблюдаются, строилась в метрологии при следующих ограничениях:

· измеряемая физическая величина сохраняет неизменным на протяжении всего цикла измерения свое истинное значение, которое можно охарактеризовать одним действительным значением, лежащем внутри интервала остаточной неопределенности (доверительного интервала);

· время измерения не ограничено и сравнение с мерой может выполняться принципиально как угодно долго и тщательно;

· внешние условия и влияющие на результат факторы точно определены.

Но так как практические задачи измерительной техники отличаются от идеализированного метрологического эксперимента сравнения с мерой, а качество измерения оценивается с использованием теоретико-вероятностного подхода, то изменяется и сама модель измерительного процесса.

Вероятностная модель измерительного процесса (или информационная модель) принята при следующих ограничениях:

· измеряемая физическая величина рассматривается как слу
чайный процесс, содержащий интересующую нас информа
цию о состоянии исследуемого объекта. Для ее описания ис
пользуют случайную последовательность действительных значений или же обобщенные характеристиками этой последовательности [m(x); D(x)]; истинное (мгновенное) значение измеряемой величины может оставаться неопределенным на данном интервале процесса измерения;

· измерение в общем случае рассматривается как последовательность операций, время выполнения которых ограничено и конечно; непосредственное сравнение с мерой неосуществимо;

· характеристики измерительного устройства могут изменяться но времени и под влиянием внешних факторов, переменных по своей природе (эти изменения тоже рассматриваются как случайные процессы, влияющие на конечную неопределенность результата измерений).

Указанные выше основные свойства классической модели являются частным случаем вероятностной модели. Необходимость введения вероятностной модели измерительного процесса вызвана прежде всего задачей оценки качества измерения изменяющихся но времени величин (динамические измерения), которая не нашла удовлетворительного решения в рамках классической метрологии.

1.8. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ

Природа и происхождение систематических погрешностей являются следствием определенных недостатков методики и средства измерения, ошибок экспериментатора, неполного учета всех особенностей измеряемой величины и условий эксперимента. Поэтому обнаружение и исключение систематических погрешностей во многом зависит от мастерства экспериментатора, от того, насколько глубоко он изучил конкретные условия проведения измерений и особенности применяемых им средств и методов.

П о х а р а к т е р у и з м е н е н и я систематические погрешности разделяют на постоянные (сохраняющие величину и знак) и переменные (изменяющиеся по определенному закону).

Постоянные систематические погрешности СИ — это погрешности градуировки шкалы аналоговых приборов; погрешности, обусловленные неточностью подгонки шунтов, добавочных сопротивлений, температурными изменениями параметров элементов в приборах и др.

Переменные систематические погрешности — это погрешности, обусловленные нестабильностью напряжения источника питания, влиянием внешних магнитных полей и других влияющих величин.

П о п р и ч и н а м в о з н и к н о в е н и я их подразделяют на методические, инструментальные и субъективные.

Методические погрешности возникают вследствие несовершенства, неполноты теоретических обоснований принятого метода измерения, использования упрощающих предположений и допущений при выводе применяемых формул, из-за неправильного выбора измеряемых величин (неадекватно описывающих модели интересующих свойств объекта). Например, измерение температуры с помощью термопары может содержать методическую погрешность, вызванную нарушением температурного режима исследуемого объекта (вследствие внесения термопары).

Выявить источники и исключить методические погрешности — главное в технике эксперимента. Уровень решения этой задачи определяется метрологической подготовкой и искусством экспериментатора. В большинстве случаев методические погрешности носят систематический характер, а иногда и случайный, например, когда коэффициенты рабочих уравнений метода измерения зависят от условий измерения, изменяющихся случайным образом.

Инструментальные погрешности (инструментальные составляющие погрешности измерения) обусловливаются свойствами применяемых СИ (стабильностью, чувствительностью к внешним воздействиям и т.д.), их влиянием на объект измерений, технологией и качеством изготовления (например, неточность градуировки, конструктивные несовершенства, изменения характеристик прибора в процессе эксплуатации и т.д.). Эту погрешность в свою очередь подразделяют на основную и дополнительную.

Субъективные погрешности вызываются состоянием оператора, проводящего измерения, его положением во время работы, несовершенством органов чувств, эргономическими свойствами средств измерений — все это сказывается на точности визирования. Субъективные погрешности также могут в некоторых случаях переходить в разряд случайных. Использование цифровых приборов и автоматических методов измерения позволяет исключить такого рода погрешности.

Для выявления и исключения систематических погрешностей применяют предварительное исключение возможных причин появления систематических погрешностей (использование исправных и поверенных мер и приборов, обоснованность выбора метода измерения, соблюдение условий эксперимента и т.д.), а также метод замещения и компенсации погрешности по знаку:

· метод замещения заключается в том, что измеряемая величина замещается известной величиной, получаемой при помощи регулируемой меры. Если такое замещение производится без каких-либо других изменений в экспериментальной установке и после замещения установлены те же показания приборов, то измеряемая величина равняется известной величине, значение которой отсчитывается по указателю регулируемой меры. Этот прием почноляет исключить постоянные систематические погрешности. Погрешность измерения при использовании метода замещения определяется погрешностью меры и погрешностью, возникающей при отсчете значения величины, замещающей неизвестную;

· метод компенсации погрешности по знаку используется для исключения систематических погрешностей, которые в зависимости от условий измерения могут входить в результат измерения с тем или иным знаком (погрешность от термоЭДС, от влияния напряженности постоянного электрического или магнитного поля и др.). В этом случае эксперимент выполняется дважды так, чтобы погрешность входила в результаты измерений один раз с одним знаком, а другой раз — с обратным. Среднее значение из двух полученных результатов является окончательным результатом измерения, свободным от указанных выше систематических погрешностей.

Обнаружение причин и вида функциональной зависимости позволяет скомпенсировать систематическую погрешность введением в результат измерения соответствующих поправок. Поправкой называется значение величины, одноименной с измеряемой, которое нужно прибавить к полученному при измерении значению величины с целью исключения систематической погрешности. В некоторых случаях используют поправочный множитель — число, на которое умножают результат измерения для исключения систематической погрешности.

Поправка или поправочный множитель определяется при помощи поверки СИ, составления и использования соответствующих таблиц и графиков. Применяют также расчетные способы нахождения поправочных значений.

Однако вследствие неточности поправок, погрешности средств измерений величин, используемых для вычисления поправок, удастся скомпенсировать лишь только часть систематической погрешности, а не всю ее. Оставшуюся часть называют неисключенным остатком систематической погрешности. Она входит в результат измерения и искажает его и может быть оценена исходя из сведений о метрологических характеристиках использованных технических средств. Если таких сведений недостаточно, то ее можно оценить путем сравнения измеренных значений с аналогичными результатами, полученными в других лабораториях другими экспериментаторами.

При проведении автоматических измерений широко используют схемные методы коррекции систематических погрешностей, например, компенсационное включение преобразователей, различные цепи температурной и частотной коррекции и др.

Новые возможности появились в результате внедрения в измерительную технику средств, содержащих микропроцессорные системы. С помощью последних удается исключать или корректировать многие виды систематических погрешностей, особенно инструментальные погрешности. Автоматическое введение поправок, связанных с неточностями градуировки, расчет и исключение дополнительных погрешностей, исключение погрешностей, обусловленных смещением нуля — эти и другие корректировки позволяют существенно повысить точность измерений.

1.9. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

Природа и физическая сущность случайных и систематических составляющих погрешности измерений различны. Однако практически во всех случаях при оценке как систематических (не исключенных остатков), так и случайных погрешностей, обрабатывают определенный статистический материал, представляющий собой совокупность результатов измерений, на основе комплекса определенных статистических правил. В общем случае рассмотрим эти погрешности как случайные величины. Природа «случайности» у них различна. Случайные погрешности в результатах измерений являются следствием многочисленных причин, например из-за физических процессов, происходящих в работающем приборе (трения, случайного дрейфа характеристик элементов, шумов), или случайных изменений условий измерения, учет которых практически неосуществим. «Случайность» оценок систематических погрешностей — результат незнания или технической невозможности (например, ограниченной точности средств аттестации методик измерения) идеального определения их истинных значений. Однако влияние случайных погрешностей на конечный результат измерений можно уменьшить увеличением числа измерений. Приведенные ниже вероятностно-статистические модели случайных величин справедливы как для случайных и неисключенных систематических составляющих, так и для суммарной погрешности измерений.

Теория погрешностей, использующая математический аппарат теории вероятностей, основывается на аналогии между появлением случайных результатов при многократно повторенных измерениях и случайных событий.

Из теории вероятности известно, что для описания случайных величин используют законы ее распределения.

Закон распределения случайной величины устанавливает соотношение между возможными значениями случайной величины X и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан в виде таблиц, формул, графически. Он дает полную информацию о свойствах случайной величины, позволяет оценить ее значение и определить вероятность нахождения ее значения в заданных границах.

Для дискретных и непрерывных (рис 1.2, а) случайных величин на практике часто применяют закон распределения в виде интегральной функции распределения F(x). Эта функция определяется вероятностью того, что случайная величина X _i в i опыте примет значение, меньшее некоторого значения х:

Интегральная функция распределения имеет следующие свой-стна — она неотрицательная, т.е. F(x) > 0; неубывающая, т.е. F(x₂) > > F(x₁), если х₂ > х₁; изменяется от 0 до 1, т. е. F(-∞) = 0, F(+∞) = 1. Важным свойством, объясняющим универсальность и практическую применяемость функции распределения, является то, что иероятность нахождения случайной величины Х в интервале (включая нижнюю границу) от х₁, до х₂ равна разности функций распределения, т.е.

(1.9)

Для описания распределения непрерывных случайных величин часто пользуются первой производной функции распределения F¹(х), которую называют плотностью распределения. Это связано с тем, что производную функции распределения р(х) = F^l(x) = dF(x)/dx статистически (экспериментально) значительно проще определить, чем саму функцию распределения.

Плотность вероятности Р(х) (дифференциальная функция распределения) определяется как предел отношения вероятности того, что случайная величина X примет значение внутри бесконечно малого промежутка от х до х + dx к величине этого промежутка dx, когда dx→ 0:

(1.10)

Функция распределения выражается через плотность вероятности:

Рис. 1.2. Законы распределения непрерывной случайной величины:

а — интегральный; б — дифференциальный

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (Х₁, Х₂) определяется как

Графически эта вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и прямыми Х= х₁, и Х= х₂ (рис. 1.2, б).

Статистическое описание случайной величины законами распределения достаточно сложно. На практике ограничиваются числовыми характеристиками законов распределения случайной величины, которые характеризуют определенные свойства этих законов распределения. Среди числовых характеристик случайных величин математическое ожидание, мода и медиана являются характеристиками положения случайной величины на числовой оси.

Математическое ожидание случайной величины (ее среднее значение) определяется как сумма произведений всех возможных значений дискретной случайной величины Хна вероятность этих значений Р:

(1.11)

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание

(1.12)

где Р(Х) — плотность распределения вероятностей случайной величины X.

Мода М₀[X] — значение случайной величины X, имеющее у дискретной величины наибольшую вероятность, а у непрерывной — наибольшую плотность вероятности. Кривую распределения, имеющую один максимум, называют одномодальной (см. рис. 1.2, б), два максимума — двухмодальной, несколько одинаковых максимумов — многомодальной.

Медиана М_е[Х] случайной величины Охарактеризует такое ее значение, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше М_е[Х]. В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.

Характеристиками рассеивания случайной величины являются дисперсия и среднеквадратичное отклонение.

Дисперсия случайной величины X — математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Для дискретной случайной величины дисперсия

(1.13)

дли непрерывной случайной величины

(1.14)

Среднеквадратичное отклонение случайной величины — корень киадратный из дисперсии:

(1.15)

Кроме рассмотренных характеристик положения и рассеивания случайных величин используют ряд вероятностных характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. К таким характеристикам относятся начальные и центральные моменты. Математическое ожидание случайной величины X есть ее первый начальный момент М[Х] = a₁, а дисперсия - второй центральный момент D[X] = m₂. Третий центральный момент Цз характеризует степень асимметрии (скошенности) кри-ной распределения относительно математического ожидания. Для удобства за характеристику асимметрии принимают безразмерную неличину, называемую коэффициентом асимметрии

При одномодальном распределении асимметрия положительна (A_s> 0), если мода М₀[Х] находится слева от среднего значения М[Х], и отрицательна (A_s< 0), если мода М₀[Х] находится справа от среднего значения М[Х] (рис. 1.3). При симметричном распределении A_s=0 (рис. 1.4, а).

Рис. 1.3. Кривые плотности вероятности с положительными (а) и отрицательными (б) коэффициентами асимметрии

Рис. 1.4. Кривые плотности вероятности с различными коэффициентами эксцесса

Четвертый центральный момент m₄ численно характеризует островершинность или плосковершинность кривой распределения и определяется безразмерной величиной Е_х, называемой эксцессом:

При симметричном одномодальном распределении эксцесс положителен (Е_х > 0), если кривая распределения островершинна, и отрицателен (Е_х < 0), если кривая плосковершинна. Эксцесс равен нулю (Е_х = 0) при нормальном распределении (рис. 1.4, б).

Используя эти три момента, можно построить теоретическую модель закона распределения.

Одним из наиболее часто употребляемых в метрологической практике теоретических законов распределения погрешностей измерения является нормальный закон распределения, обладающий свойствами симметрии и монотонного убывания плотности вероятности:

· равные по абсолютному значению, но противоположные по знаку погрешности встречаются одинаково часто (аксиома симметрии);

· малые погрешности встречаются чаще, чем большие; очень большие погрешности не встречаются.

Нормальное распределение центрированной случайной величины (погрешности) при М(∆) = 0 является одномодальным и описывается выражением

(1.16)

Для нормального закона распределения вероятность нахождения погрешности между значениями Х₁ и Х₂ определяется разностью соответствующих значений функции распределения

(1.17)

Графически эта вероятность представлена площадью под кривой, изображающей плотность вероятности между ординатами, соответствующими абсциссам Х₁ и Х₂.

Графики плотности (1.16) нормального распределения погрешности при различных значениях s приведены на рис. 1.5.

Как видно из рис. 1.5, чем меньше s, тем круче кривая падает к оси ∆ и тем она островершиннее (s₁ < s₂ < s₃).

Нормальный закон реализуется в тех случаях, когда погрешность измерений обусловливается большим числом случайных факторов (более четырех), каждый из которых вносит свою приблизительно одинаковую с другими долю в общую погрешность. При этом законы распределения составляющих погрешностей могут быть самыми различными (равномерными, треугольными, трапецеидальными, экспоненциальными и др.).

Если X₁ = - ¥, а X₂ = + ¥, то вероятность, определенная по (1.17), обратится в единицу, что соответствует площади под кривой (см. рис. 1.2).

На практике для выполнения расчетов применяют нормированную функцию Лапласа, называемую также интегралом вероятностей

(1-18)

Тогда расчетную вероятность нахождения погрешности в заданных границах (Х₁ Х₂) можно найти, используя табличные значения аргумента функции Лапласа:

(1-19)

Формула (1.19) позволяет рассчитать границы интервала (доверительного интервала), в котором с определенной (доверительной) вероятностью находится результат измерения (рис. 1.6).

Рис. 1.5. Графики плотности нормального распределения погрешности при различных значениях s

Основными точечными характеристиками погрешности измерений, которые оцениваются расчетным путем (до проведения измерений) по характеристикам используемых методов и средств измерений или по результатам измерений (после осуществления измерительного процесса), являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Оценкой математического ожидания (МО) случайной величины является среднее арифметическое значение (СКО) измеряемой величины

Рис. 1.6. Нормированные функции распределения:

а — интегральная; б — дифференциальная

(1.20)

Точечная оценка дисперсии

(1.21)

Для получения характеристики рассеивания результатов вокруг среднего арифметического значения в абсолютных единицах используют среднеквадратичное отклонение

(1.22)

Полученные оценки — математическое ожидание и средне-квадратичное отклонение являются случайными величинами, поэтому СКО используют для оценки разброса

(1.23)

а СКО s[Х] — для оценки разброса s[Х]:

(1.24)

где Е_х — численное значение эксцесса.

Точечные оценки, характеризующие параметры распределения в виде чисел, обычно используют при большом объеме выборки. С уменьшением объема выборки степень их достоверности уменьшается, поэтому переходят к интервальным оценкам, позволяющим определить интервал (доверительный), в котором с заданной вероятностью (доверительной) находится истинное значение оцениваемого параметра.

Вероятность того, что действительное значение измеряемой величины X находится внутри доверительного интервала ( -х₂, +х₁), называется надежностью b при заданной точности.

В практике измерений применяют различные значения доверительной вероятности, например: 0, 90; 0, 95; 0, 98; 0, 99; 0, 9973 и 0, 999. Доверительный интервал и доверительную вероятность выбирают в зависимости от конкретных условий измерений. Так, например, при нормальном законе распределения случайных погрешностей со средеквадратичным отклонением s часто пользуются доверительным интервалом от +3s до -3s, для которого доверительная вероятность (по статистическим таблицам значений функции Лапласа) равна 0, 9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3s. Так как на практике число отдельных измерений редко превышает несколько десятков, появление даже одной случайной погрешности, большей 3s, маловероятное событие, наличие же двух подобных погрешностей почти невозможно. Это позволяет с достаточным основанием утверждать, что все возможные случайные погрешности измерения, распределенные по нормальному закону, практически не превышают по абсолютному значению 3s (правило «трех сигм»). В случае, если погрешность выходит за значение 3s, то его можно считать «промахом». Для определения «промаха» используют критерии «трех сигм» — Смирнова, Райта, Романовского, Шовенэ и др.

1.10. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Прямые многократные измерения. Точно оценить действительное значение измеряемой величины можно лишь путем ее многократных измерений и соответствующей обработки их результатов. Правильно обработать полученные результаты наблюдений — значит получить наиболее точную оценку действительного значения измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение. Обработка должна произ-подиться в соответствии с ГОСТ 8.207 — 76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Общие положения». В процессе обработки результатов наблюдений необходимо последовательно решить следующие основные задачи:

· определить точечные и интегральные оценки закона распределения результатов измерений [по формулам (1.20) и (1.22)];

· исключить «промахи» (по одному из критериев);

· устранить систематические погрешности измерений (см. разд. 1.8);

· оценить закон распределения по статистическим критериям (используются критерии c₂ — Пирсона, Колмогорова, составной);

· определить доверительные границы неисключенного остатка систематической составляющей [см. (1.26)], случайной составляющей [см. (1.19)] и общей погрешности результата измерения (см. разд. 1.11);

· записать результат измерения (см. разд. 1.13).

Прямые однократные измерения. Погрешность результата прямого однократного измерения зависит от многих факторов, но в первую очередь определяется, естественно, погрешностью используемых СИ. Поэтому в первом приближении погрешность результата измерения можно принять равной погрешности, которой в данной точке диапазона измерений характеризуется используемое СИ.

В общем случае задача оценки погрешности полученного результата обычно осуществляется на основе сведений о пределе допускаемой основной погрешности средства измерения ∆ _си (по нормативно-технической документации на используемые средства измерений) и известным значениям дополнительных погрешностей ∆ _доп от воздействия влияющих величин. Условно считают, что методические и субъективные погрешности при проведении измерения незначимы. Тогда максимальное значение суммарной погрешности результата измерения (без учета знака) можно найти суммированием составляющих по абсолютной величине: