Пространственная решетка

Рассмотрев симметричные преобразования, возвращаемся к понятию пространственной решетки кристалла.

Пространственная решетка строится на основе реальной структуры кристалла. Рассмотрим это на примере CsCl. В этом кристалле ионы цезия расположены по отношению к ионам хлора так, как это показано на рис.1.6, а. Ионы имеют различные размеры. Их величину и расположение в кристалле характеризует элементарная ячейка структуры (рис.1.6, а).

В отличие от структуры пространственная решетка изображает кристалл как систему абстрактных точек - узлов бесконечной пространственной решетки. При этом расположение узлов характеризует закономерность расположения частиц, например Cs или Cl, в пространстве. Такую закономерность, по которой построен кристалл CsCl, можно выявить при рассмотрении трансляционной симметрии его структуры. Выделим все возможные вектора трансляции в элементарной ячейке структуры CsCl. Из произвольной точки, выбранной за начало координат (рис.1.6, б), строим все вектора трансляции, характерные для данной структуры (рис.1.6, а). Их возможно семь - семь возможных параллельных переносов иона Cs (рис.1.6, б), который мы взяли за начальный, в вершины куба, где новое расположение его по отношению к окружающим частицам кристалла будет абсолютно таким же, как и первоначальное. Концы векторов трансляции определяем точками - узлами. Полученная совокупность узлов (рис.1.6, б) и носит название пространственной решетки.

Рис.1.6. Построение элементарной ячейки пространственной решетки:

а - структурная ячейка; б - пространственная.

Соединив узлы, построенные нами, получим элементарную ячейку пространственной решетки. Для CsCl это примитивная ячейка, так как вектор, проведенный от Cs к Cl, не будет являться вектором трансляции, поэтому мы не получим узла в центре ячейки пространственной решетки (рис.1.6, б). Вся пространственная решетка может быть получена параллельным переносом элементарной ячейки.

Пространственная решетка, таким образом, характеризует трансляционную симметрию кристалла. Узлы ее не следует считать связанными с материальными частицами структуры, так как начало координат при нахождении векторов трансляции мы можем выбрать в любой структурной ячейке и в частности между двумя ионами (атомами).

Размеры элементарных ячеек структуры и пространственной решетки всегда одинаковы, а тип ячейки может быть различным, как в случае CsCl. Рассматривая всевозможные кристаллы, можно заключить, что число различных пространственных решеток ограничено, в то время как структур бесконечное множество.

1.6. Кристаллические системы – сингонии

В общем случае элементарная ячейка представляет собой параллелепипед, построенный на единичных векторах a, b, c c углами между ними a (угол bc), b (угол ac), g(угол ab). Отрезки a, b, c и углы a, b, g называют обычно параметрами элементарной ячейки.

По форме элементарной ячейки пространственной решетки все кристаллы делятся на 7 групп - сингоний. Эти 7 сингоний включают в себя 32 вида симметрии или, что равносильно - 230 пространственных групп. Каждая из указанных сингоний характеризуется примитивной элементарной ячейкой определенной формы с определенными соотношениями параметров. Ниже указаны основные признаки, по которым кристаллы группируются в системы (сингонии) и соотношения параметров элементарных ячеек этих кристаллов.

I. Триклинная сингония - кристаллы не обладают никакими элементами симметрии или только центром инверсии i. Элементарная ячейка - косоугольный параллелепипед a¹ b¹ c; a¹ b¹ g¹ 90°.

II. Моноклинная сингония - кристаллы обладают одной поворотной осью 2-го порядка и плоскостью симметрии или одним из этих элементов a¹ b¹ c; a=g=90°; b¹ 90°.

III. Ромбическая сингония - кристаллы имеют три взаимно перпендикулярные поворотные оси симметрии 2-го порядка или минимум две плоскости симметрии a¹ b¹ c; a=b=g=90°.

IV. Ромбоэдрическаятригональнаясингония. Кристаллы имеют поворотные оси 3-го порядка (выше нет) a=b=c; a=b=g¹ 90°.

V. Тетрагональная сингония. Кристаллы имеют одну поворотную или инверсионную ось 4-го порядка a=b¹ c; a=b=g=90°

VI. Гексагональная сингония. Кристаллы имеют одну поворотную и инверсионную ось симметрии 6-го порядка

a=b¹ c; a=b=90°; l=120°.

Следует отметить, что в ромбоэдрической системе выбор элементарной ячейки может быть и таким, при котором она будет иметь вид гексагональной призмы с теми же соотношениями параметров, хотя оси симметрии в ней все же не выше 3 порядка. Вследствие этого ромбоэдрическую систему иногда рассматривают как подсистему гексагональной.

VII. Кубическая сингония - кристаллы имеют четыре поворотные оси 3-го порядка и три оси 4-го порядка a=b=c; a=b=g=90°.

Первые три системы относятся к категории низшей симметрии; последующие три, имеющие по одной оси 3, 4 или 6 порядков, - к категории средней симметрии и последнюю - кубическую - к категории высшей симметрии.

Итак, для каждой из сингоний характерна своя по форме элементарная ячейка - всего 7 возможных ячеек.