Занятие 5. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Диагонализация симметричных матриц ортогональным преобразованием.

Пусть число λ и вектор , х ≠ 0, таковы, что

А х = λ х. (1)

Тогда число λ называется собственным числом линейного оператора A, а вектор x − собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу λ.

В конечномерном пространстве L _n векторное равенство (1) эквивалентно матричному равенству

(А – λ Е) x = 0, х ≠ 0. (2)

Отсюда следует, что число λ есть собственное число оператора А в том и только том случае, когда det(А – λ Е) = 0, т.е. λ есть корень многочлена p (λ) = det(А – λ Е), называемого характеристическим многочленом оператора А. Столбец координат X любого собственного вектора, соответствующий собственному числу λ, есть некоторое нетривиальное решение однородной системы (2).

Линейные операторы в пространствах со скалярным произведе­нием. Пусть А − линейный оператор, действующий в пространстве со скалярным произведением (x, y). Линейный оператор А* называется сопряженным к оператору А, если для любых векторов х, у выполняется равенство (A х, у) = (х, А* у).

Линейный оператор H в пространстве со скалярным произведением называется самосопряженным, если H = H *. Самосопряженный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве называется также эрмитовым (симметричным). Для того чтобы оператор А был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормированном базисе его матрица А = (а_ij)удовлетворяла соотношению а_ij = а_ji. Такие матрицы называются симметричными.

Линейный оператор U в унитарном (евклидовом) пространстве называется унитарным (ортогональным), если

UU* = U*U=E, т. е. U* = U ^{− 1}

Для того чтобы оператор А был унитарным (ортогональным) необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормированном базисе его матрица А = (а_ij)удовлетворяла соотношению А ^{− 1} = А* (А ^{− 1} = А^T). Такие матрицы называются унитарными (ортогональными).

Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Если оператор A, действующий в пространстве L _n имеет n линейно независимых собственных векторов е ₁, е ₂,..., е _n соответствующих собственным числам λ ₁, λ ₂,..., λ _n, то в базисе из этих векторов матрица оператора А имеет диагональный вид

(3)

Матрица А самосопряженного оператора всегда приводится к диагональному виду.При этом, используя понятие унитарного оператора, ее можно представить в виде A = UDU ^{− 1}, где U − матрица унитарного оператора, осуществляющего переход oт исходного базиса к базису из собственных векторов оператора A, a D − диагональная матрица вида (3).

Задачи:

В задачах 4.129− 4.133 найти собственные числа и собственные векторы операторов в V₃.

4.129. А х = а х, а − фиксированное число.

4.131. A x = [ i, x ].

В задачах 4.134–4.143 найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.

В задачах 4.172–4.179 выяснить, какие из заданных матриц линейных операторов можно диагонализировать переходом к новому базису. Найти этот базис и соответствующую ему диагональную форму матрицы.

В задачах 4.183–4.184 найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданною в некотором ортонормированном базисе матрицей А (искомый базис определен неоднозначно)

Для данной матрицы А найти диагональную матрицу D и унитарную (ортогональную) матрицу U такие, что A = UDU ^{− 1}:

Домашнее задание: 4.130, 4.132, 4.134–4.142 (четн.), 4.176, 4.184, 4.186

4.130. A x = (x, i) i − оператор проектирования на ось Ох.

4.132. А = U (е, φ) − оператор поворота на угол φ вокруг оси, заданной вектором е.

Ответы