Интегральные оценки качества

Интегральные оценки дают обобщенную оценку быстроты затухания и величины отклонения регулируемой координаты, в виде единого числового значения.

Находят применение первые три ИТ-оценки из перечисленных в списке:

· I ₁ и I ₂ – линейные ИТ-оценки (не чувствительны к высшим производным координат САР).

· I и I ′ – квадратичные ИТ-оценки (первая не чувствительна к высшим производным координат САР; вторая – к неподвижному режиму).

· I + T ₁² I ′ – улучшенная квадратичная ИТ-оценка (чувствительна к постоянной и к скоростной составляющим в движении координат САР).

· I + T ₁² I ′ + T ₂⁴ I ″ +… – ИТ-оценки более высоких порядков (чувствительны к постоянной составляющей в движении координат САР, к их скорости, к ускорению,...).

Пусть имеем переходные функции h (t).

Рассмотрим линейные ИТ-оценки:

.

Очевидно, что чем меньше значение оценки I ₁ или I ₂, тем лучше переходный процесс, но:

· Оценка I ₁ не может применяться к колебательному переходному процессу.

· Аналитическое вычисление оценки I ₂ по коэффициентам уравнения ошибки затруднено.

· Одно значение оценки I ₂ может соответствовать переходным процессам с разной колебательностью (если совпадают мажоранты и миноранты).

Ограничения " a" и " b" для оценок I ₁ и I ₂ преодолеваются квадратичными ИТ-оценками I и I ′:

.

Заметим, что оценку I ′ можно получить нахождением оценки I, если подать на вход САР не ступенчатую 1(t), а дельта функциюδ (t)=1′ (t). Применение оценки I ′ ограничено тем, что она не чувствительна к установившемуся значению ошибки x _∞ .

Ограничение " c" и другие ограничения оценок I ₁, I ₂, I и I ′ снимаются улучшенной квадратичной ИТ-оценкой:

,

где: x ₀ – начальное значение отклонения в переходном процессе; I + T ₁² I ′ – не формула, а составной символ обозначения данной ИТ-оценки.

Очевидно, что I + T ₁² I ′ будет минимальна при T ₁ x ′ + x =(T ₁ p +1) x =0. Решение этого ДУ есть экспонента: x (t)= x ₀ e ^{− t / T} ₁, а y (t)=1− x (t)= y ₀(1− e ^{− t / T} ₁).

Т.е. улучшенная квадратичная ИТ-оценка I + T ₁² I ′ будет иметь минимум при приближении переходной функции к экспоненте с заданной постоянной времени T ₁.

Можно использовать улучшенные ИТ-оценки более высоких порядков. Например:

.

Здесь оценка будет иметь минимум, только при перемещениях координат САР с определенными скоростью и ускорением, которые задаются постоянными времени T ₁ и T ₂ соответственно. Идея другого способа выбора параметров оценки заключена в том, что коэффициенты ДУ второго порядка можно выразить в виде затухания ζ и резонансной частоты q, которыми должна обладать настраиваемая САР.