Введение в линейную алгебру

В данном разделе рассматриваются системы линейных алгебраических уравнений. В общем виде такая система имеет вид системы линейных уравнений, содержащие неизвестных :

(1.1)

Остановимся на наиболее сложном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, т.е. .

Очевидно, что при общий анализ ситуации не вызывает сомнений.

Для уравнения

(1.2)

все возможные ситуации укладываются в три варианта:

1) если (1.3)

2) если

2.1) если , то любое число, т.е. число решений бесконечно, (1.4)

2.2) если , то решения данного уравнения не существует. (1.5)

Перейдем к случаю .

(1.6)

Как известно из школьного курса математики, каждому уравнению из системы (1.6) на плоскости соответствует прямая линия, для которой тангенс угла между этой линией и осью составляет

(1.7)

Теперь нетрудно описать все возможные взаимные расположения этих прямых линий.

3) Если входящие в (1.7) тангенсы угла наклона прямых к оси не равны, т.е. прямые не параллельны, то тогда прямые обязательно пересекаются и при этом пересечение единственно. Это является двумерным аналогом ситуации (1.3) в одномерном случае. При этом аналогом условия будет . Или,

что то же самое,

(1.8)

4) Если же

, (1.9)

(что означает условие параллельности прямых), то здесь возможны два варианта

4.1) если , (1.10)

то очевидно, что из (1.10) следует, что . При этом, как нетрудно заметить, второе уравнение в системе (1.6) является ничем иным, как умноженным на дробь при выполнения равенства (1.9). Таким образом, прямые на плоскости просто сливаются (они неразличимы). Поэтому решением системы (1.6) будут все точки на плоскости , лежащие на этой прямой. Это означает, что число решений бесконечно, что вполне соответствуют случаю 2.1) для одного уравнения (1.2).

4.2) Если при выполнении равенства (1.9) равенство (1.10) не выполняется, то прямые на плоскости , отвечающие исходной задаче (1.6), параллельны, но отстоят друг от друга (не слипаются), т.е. не имеют общих точек. Поэтому система (1.6) в этом случае (выполнение равенства (1.9) и не выполнение равенства (1.10)) не имеет решения. Ситуация является аналогом случая 2.2) для одного неизвестного (1.2).

Задание 1 (выполнить в пакете Mathcad)

Ввести определение квадратной матрицы размерности 2х2 и двух столбцов и , провести символьное вычисление детерминанта матрицы :

(1.11)

Для записи (1.11) воспользоваться возможностями панели «Матрицы».

Ввести расширенную прямоугольную матрицу размерности 2х3 и записать три существующих минора второго порядка этой матрицы:

(1.12)

Отметим, что значение минора M1A1B равно значению детерминанта матрицы A1, а значение минора M2A1B совпадает с левой частью равенства (1.10).

Показать, что:

a) из равенства М1А1В=0 следует равенство . Такая ситуация означает, что столбец пропорционален столбцу ;

b) из равенства М1А1В=0 следует равенство .

Задание 2. (выполнить в пакете Mathcad)

Используя введенную в задании 1 матрицу , ввести транспонированную матрицу и вычислить .

Вычислить коммутатор этих матриц, т.е. матрицу

.

Показать, что в общем случае коммутатор не является нулевой матрицей и, следовательно, нельзя говорить о том, что произведение матриц всегда обладает коммутативностью, каким обладают произведения чисел. Вычислить коммутатор K для случая, когда матрица является симметричной.

Ввести единичную матрицу 2х2 . Показать, что единичная матрица коммутирует с матрицами и .

Ввести диагональную матрицу 2х2 .Равен ли нулю коммутатор матрицы D и A1?