Связь между системами счисления

Одно и то же число может быть записано в различных системах счисления. Существуют правила, определяющие порядок перевода числа из одной системы счисления в другую.

Правило перевода чисел из двоичной системы в десятичную (перевод по степенному ряду) можно сформулировать следующим образом: все цифры числа и основание двоичной системы заменяются их десятичными эквивалентами; число представляется в виде суммы произведений степеней на значения соответствующих позиций; затем производится арифметический подсчет.

Например: переведем двоичное число 1010110, 11 в десятичную систему счисления. Для этого выполним преобразования (слагаемые, которые равны нулю (получены умножением нуля на степень числа 2), в формуле пропущены):

1010110, 11₂ = 1 ´ 2 ⁶ + 1 ´ 2 ⁴ + 1 ´ 2 ² + 1 ´ 2 ¹ +1 ´ 2 ^–1 + 1 ´ 2 ^{– 2} = = 86, 75₁₀, т.е. 1010110, 11₂ = 86, 75₁₀.

Правила перевода чисел из десятичной системы в двоичную различны для целой и дробной частей числа. Эти правила сформулированы ниже.

Для перевода целого числа (или целой части смешанного числа) используется алгоритм последовательного деления исходного числа, а затем образующихся частных от деления на основание новой системы (т.е. на 2), причем действия производятся в старой (десятичной) системе. Деление прекращается, как только очередное частное от деления станет равным 0. Остатки от деления, выписанные в обратном порядке, образуют результат.

Например, десятичное число 11 в двоичную систему счисления переводится следующим образом: число 11 в десятичной записи делим на 2; остаток от деления запоминаем, а частное снова делим на два; процесс деления продолжается, пока частное от деления не станет равным 0; двоичное число «склеивается» из остатков от деления, которые могут быть только нулями или единицами, причем остатки включаются в число в порядке, обратном тому, в каком они были получены (стрелкой показан порядок записи двоичных цифр). «Собирая» остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим 1011 (т.е. 11₁₀=1011₂):

Для перевода дробной части используется алгоритм последовательного умножения на основание новой системы (2), действия производятся в старой (десятичной) системе, целые части полученных произведений дают запись результата.

Например, переведем десятичную дробь 0, 875 в двоичную систему счисления. В данном случае результатом является двоичное число 0, 111₂. Действительно:

0, 111₂ = 0´ 2⁰+1´ 2 ^–1+1´ 2 ^–2 +1´ 2 ^–3 =
= 0, 5+0, 25+0, 125=0, 875).

Деление естественным образом прекращается, когда дробная часть становится равной 0.

Но что будет, если попробовать перевести в двоичную систему, например, число 0, 7? Когда в этом случае прекратить деление?

Этот процесс может продолжаться бесконечно, давая все новые и новые знаки в изображении двоичного эквивалента числа 0, 7₁₀. Так, за четыре шага мы получаем число 0, 1011₂, а за семь шагов – число 0, 1011001₂, которое является более точным представлением числа 0, 7₁₀в двоичной системе счисления, и т.д. Такой бесконечный процесс обрывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа.

Таким образом, видно, что от выбора системы счисления зависит точность представления чисел, удобство их обработки.

Не все числа можно точно представить в памяти компьютера, поэтому при их обработке может возникнуть и накапливаться погрешность. Об этом стоит помнить, выполняя вычисления с помощью электронных таблиц – пользователь может установить как точность вычислении, так и формат вывода данных.