Канонические уравнения гиперболы и параболы. Геометрический смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратно-пропорциональной зависимости и квадратного трехчлена.

Определение 1. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух точек F ₁и F ₂, есть величина постоянная, равная 2 a, т.е. для любой точки M гиперболы выполняется соотношение:

½ ½ F ₁ M ½ - ½ F ₂ M ½ ½ = 2 a.

Точки F ₁(c, 0)и F ₂(- c, 0)называются фокусами гиперболы.

Определение 2. Каноническим уравнением гиперболы (в канонической системе координат) называется уравнение .

В этом случае оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат является его центром симметрии.

Вершинами гиперболы являются точки A ₁(a, 0), A ₂(- a, 0), лежащие на оси Ox.

Параметры a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосью гиперболы.

Расстояние от начала координат до фокусов равно c и определяется соотношением .

Прямые называются асимптотами гиперболы.

Уравнение вида также называется каноническим уравнением гиперболы.

В этом случае вершиныA ₁(0, b)и A ₂(0, - b), а также фокусыF ₁(0, c)и F ₂(0, - c)гиперболы лежат на оси Oy.

Если центр гиперболы смещен относительно начала координат в точку O (x ₀, y ₀), то уравнение гиперболы будет иметь вид или и называться нормальным уравнением гиперболы.

Приведение общего уравнения гиперболы к нормальному виду проводится методом выделения полных квадратов по переменным x и y.

Определение 3. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от данной точки (фокуса F) и данной прямой (директрисы):

½ MF ½ = ½ MN ½.

Определение 4. Каноническим уравнением параболы (если вершина параболы находится в начале координат) называется уравнение y ² = 2 px.

Точка называется фокусом параболы, а прямая - её директрисой.

При p > 0ветви параболы направлены вправо, при p < 0- влево.

Ось абсцисс является осью симметрии параболы.

Если в уравнении параболы поменять местами переменные x и y, то получим уравнение параболы x ² = 2 py с вершиной в начале координат и осью симметрии Oy.

При p > 0ветви параболы направлены вверх, при p < 0- вниз.

Если центр параболы смещен относительно начала координат в точку O (x ₀, y ₀), то уравнение параболы будет иметь вид(y-y _o)² = 2 p (x-x ₀)или(x-x _o)² = 2 p (y-y ₀)и называться нормальным уравнением параболы.

Приведение общего уравнения гиперболы к нормальному виду проводится методом выделения полного квадрата по переменной x или y.