Формальная постановка задачи оптимизации

Наблюдаем каким образом можно запутать простые вещи и пытаемся привыкнуть к несложной математической нотации.

Почти формальная запись задачи оптимизации имеет вид:

(1)

где – вектор искомых переменных ;

– целевая функция;

exstremum – абстрактный идентификатор, заменяемый в конкретных задачах идентификатором или ;

– система отношений, определяющая множество допустимых значений искомых переменных.

Представив в виде системы, можно получить следующую формальную запись задачи оптимизации:

(2)

где , – символы операций отношения, т. е. элементы множества ;

, – выражения, определяемые конкретикой решаемой задачи, их мы назвали вспомогательными функциями; очень часто эти функции являются вырожденными, – представляют собой искомые переменные и/или константы задачи.

А теперь вспоминаем следующее: фактически и целевая функция, и вспомогательные функции являются функциями не только искомых переменных, но и констант задачи, т. е. правильнее было бы вместо , , писать так: , , где – вектор констант задачи. К сожалению, так писать не принято: из-за стремления к компактности записи формул и желания «сосредоточить внимание на главном», кроме того, константы, вообще не принято называть аргументами, их называют параметрами, и в обозначение функции обычно не включают. Итак, запоминаем: и целевая функция, и вспомогательные функции в общем случае имеют неотображаемые в обозначениях этих функций параметры – константы задачи.

Формула (2) более точна по сравнению с нечёткой формулой (1), но одновременно и менее наглядна. Повысить наглядность формальной записи задачи оптимизации без сокращения её содержательности можно, если учесть следующие факты:

1) задачи вида и могут быть сведены к задаче путём незначительной модификации выражения целевой функции; действительно, эквивалентно , а эквивалентно ;

2) отношение любого вида может быть сведено к виду следующим путём:

· правая часть отношения переносится влево для получения нуля в правой части и одного выражения в левой;

· строгое неравенство можно преобразовать в нестрогое с помощью малой положительной константы , – значение которой пренебрежимо мало в рамках рассматриваемой предметной области: вычислительно эквивалентно

· равенство заменяется парой нестрогих неравенств ; .

Учёт перечисленных фактов позволяет получить типичную запись формальной постановки задачи оптимизации в учебнике:

(3)

А иногда записывают и вовсе просто:

(4)

Ну, теперь корректная формальная запись задачи (4) ничуть не сложнее упрощенной записи (1).

Обратим внимание на следующие факты. Выражение целевой функции обязательно содержит все элементы вектора – это определяется семантикой (смыслом) понятий целевой функции и искомых переменных. В то же время выражение каждой из функций ограничений может фактически содержать только часть элементов вектора : каждое ограничение может ограничивать значения только некоторой части искомых переменных.

И, наконец, главное: всё, что вы прочитали в этом пункте – чистой воды гимнастика для ума, практически полезного здесь ничего нет; в реальной практике задачу оптимизации следует формулировать в наиболее подходящем для восприятия виде, а это тот вид, который наиболее просто и естественно отражает конкретику предметной области, формально ему соответствует «несуразная» формула (2). Так зачем же я этот пункт написал? Ну, во-первых, ум тренировать полезно: умные люди живут дольше (в среднем), а во-вторых, надо быть готовым к чтению учебников.