Лекція 3 продовження

1.1 Призначення MathCAD

MathCAD є математичним редактором, який дозволяє проводити різноманітні наукові та інженерні розрахунки, починаючи від елементарної арифметики і закінчуючи складними реалізаціями чисельних методів.

Наведемо приклад найпростіших розрахунків. Для обчислення синуса якого-небудь числа досить ввести з клавіатури вираз типу sin (1/4) =. Після того як буде натиснута клавіша зі знаком рівності, з правого боку виразу, як за помахом чарівної палички, з'явиться результат (лістинг 1.1).

Найпростіший спосіб введення - це введення формул з клавіатури. Для того щоб виконати прості розрахунки за формулами, виконайте наступне:

- визначте місце в документі, де має з'явитися вираз, клацнувши мишею в відповідній точці документа;

- введіть ліву частину виразу;

- введіть знак рівності " =".

Лістинг 1.1. Розрахунок простого вираження

Подібним чином можна проводити і більш складні і громіздкі обчислення, використовуючи спеціальні функції, вбудовані в MathCAD. Найлегше вводити їх імена з клавіатури, як у прикладі з обчисленням синуса, але можна вибрати інший шлях. Щоб ввести вбудовану функцію у вираз:

1. Визначте місце у виразі, куди слід вставити функцію.

2. Натисніть кнопку з написом f (x) на стандартній панелі інструментів (на неї вказує курсор на рис. 1.1).

3. У списку Function Category (Категорія функції) діалогового вікна Insert Function (Вставити функцію) виберіть категорію, до якої належить функція, - в нашому випадку це категорія Trigonometric (Тригонометричні).

4. У списку Function Name (Ім'я функції) виберіть ім'я вбудованої функції, під яким вона фігурує в MathCAD (sin). У випадку утруднення з вибором орієнтуйтеся на підказку, що з'являється при виборі функції в нижньому текстовому полі діалогового вікна Insert Function.

5. Натисніть кнопку ОК - функція з'явиться в документі.

6. Заповніть відсутні аргументи введеної функції (у нашому випадку це 1/4).

Результатом буде введення виразу з лістингу 1.1, для отримання значення якого залишилося лише ввести знак рівності.

Примітка

Більшість чисельних методів, запрограмованих в MathCAD, реалізовано у вигляді вбудованих функцій.

Звичайно, не всякий символ можна ввести з клавіатури. Наприклад, неочевидно, як вставити в документ знак інтеграла або диференціювання. Для цього в MathCAD є спеціальні панелі інструментів, дуже схожі на засоби формульного редактора Microsoft Word. Одна з них-панель інструментів Math (Математика) - показана на рис. 1.1. Вона містить інструменти для вставки в документи типово математичних об'єктів (операторів, графіків, елементів програм і т. п.). Ця панель показана крупнішим планом на рис. 1.2 вже на тлі редагованого документа.

Рис. 1.1 Вставка вбудованої функції

Панель містить дев'ять кнопок, натискання кожної з яких призводить, у свою чергу, до появи на екрані ще однієї панелі інструментів. С допомогою цих дев'яти додаткових панелей можна вставляти в документи MathCAD різноманітні об'єкти. На рис. 1.2 на панелі Math в натиснутому стані знаходяться дві перші зверху зліва кнопки (над лівою з них знаходиться покажчик миші). Тому на екрані присутні ще дві панелі - Calculator (Калькулятор) і Graph (Графік). Легко здогадатися, які об'єкти вставляються при натисненні кнопок на цих панелях.

Рис. 1.2 Використання панелі інструментів Math

Наприклад, можна ввести вираз з лістингу l.l виключно за допомогою панелі Calculator (Калькулятор). Для цього потрібно спочатку натиснути кнопку sin (найпершу зверху). Результат цієї дії показаний на рис. 1.2 (вираз в рамці). Тепер залишається лише набрати вираз 1/4 всередині дужок (в місцезаповнювач, який позначається чорним прямокутником). Для цього натисніть послідовно кнопки 1-4 на панелі Calculator (Калькулятор) і потім, на ній же, кнопку =, щоб отримати відповідь.

MathCAD надає можливість завдання змінних і операцій з функціями користувача. Ці дії, як і більшість інших, реалізовані за принципом " як прийнято в математиці, так і вводиться". Наведемо відповідні приклади. Зверніть увагу на оператор присвоювання, який застосовується для завдання значень змінних в першому рядку лістингу 1.2. Його, як і всі інші символи, можна ввести за допомогою панелі Calculator (Калькулятор). Присвоювання позначається не знаком рівності, щоб підкреслити його відмінність від операції обчислення. Символ рівності говорить про обчисленні значення зліва направо, а символ ": =" - про присвоєнні значення справа наліво.

Лістинг 1.2. Використання змінних у розрахунках

Лістинг 1.3. Визначення функції користувача і розрахунок її значення в точці х = 1

В останньому лістингу визначається функція f (x). Її графік показаний на рис. 1.3. Щоб побудувати його, слід натиснути на панелі Graph (Графік кнопку з потрібним типом графіка (на неї на малюнку наведений покажчик миші) і в що з'явилася заготівлі графіка визначити значення, які будуть відкладені по осях. В нашому випадку треба було ввести х у місцезаповач біля осі х і f (х) - біля осі Y.

Рис. 1.3 Побудова графіка функції (лістинг 1.3)

Однією з найбільш вражаючих можливостей MathCAD є символьні обчислення, які дозволяють вирішити багато завдань аналітично. Вміле використання інтелекту символьного процесора MathCAD позбавить вас від величезної кількості рутинних обчислень, наприклад, інтегралів і похідних (лістинг 1.4). Зверніть увагу на традиційну форму написання виразів, єдина особливість полягає в необхідності застосування символу символьних обчислень -> замість знаку рівності. Його, до речі, можна ввести в редакторі MathCAD з будь-якої з панелей Evaluation (Вирази) або Symbolic (Символіка), а символи інтегрування і диференціювання - з панелі Calculus (Обчислення).

Лістинг 1.4. Символьні обчислення:

1.2 Інтерфейс користувача

У MathCAD інтерфейс користувача інтуїтивний і схожий з іншими додатками Windows.

1.3 Меню

Рядок меню розташовується в самій верхній частині вікна MathCAD. Вона містить дев'ять заголовків, клацання мишею на кожному з яких призводить до появи відповідного меню з переліком згрупованих по дії команд:

- File (Файл) - команди, пов'язані із створенням, відкриттям, збереженням, пересиланням електронною поштою і роздруком на принтері файлів з документами;

- Edit (Правка) - команди, що відносяться до правки тексту (копіювання, вставка, видалення фрагментів і т. п.);

- View (Вид) - команди, що керують зовнішнім виглядом документа у вікні редактора MathCAD, а також команди, що створюють файли анімації;

- Insert (Вставка) - команди вставки різних об'єктів в документи;

- Format (Формат) - команди форматування тексту, формул і графіків;

- Math (Математика) - команди керування обчислювальним процесом;

- Symbolics (Символіка) - команди символьних обчислень;

- Window (Вікно) - команди керування розташуванням вікон з різними документами на екрані;

- Help (Довідка) - команди виклику контекстно-залежної довідкової інформації, доступу до Центру Ресурсів, опції Ради Дня і відомостей про версію програми.

Щоб вибрати потрібну команду, клацніть мишею на меню, яке її містить і повторно на відповідному елементі меню. Деякі команди знаходяться не в самих меню, а в підменю, як це показано на рис. 1.4. Щоб виконати таку команду, наприклад, команду виклику на екран панелі інструментів Symbolic (Символіка), наведіть вказівник миші на пункт Toolbars View (Вид) і виберіть у підменю пункт Symbolic (Символіка).

Рис. 1.4 Робота з меню

1.4 Панелі інструментів

Панелі інструментів служать для швидкого (в одне клацання миші) виконання найбільш часто вживаних команд. На рис. 1.5 зображено вікно MathCAD з трьома основними панелями інструментів, розташованими безпосередньо під рядком меню. Кнопки в панелях згруповані по подібній дії команд:

- Standard (Стандартна) - служить для виконання більшості операцій, таких як дії з файлами, редакторська правка, вставка об'єктів і доступ до довідкових систем;

- Formatting (Форматування) - для форматування (зміни типу і розміру шрифту, вирівнювання і т. п.) тексту і формул;

- Math (Математика) - для вставки математичних символів і операторів в документи.

Рис. 1.5 Основні панелі інструментів

Панель Math (Математика) призначена для виклику на екран ще дев'яти панелей (рис. 1.6), за допомогою яких, власне, і відбувається вставка математичних операцій в документи. Щоб показати якусь із них, потрібно натиснути відповідну кнопку на панелі Math (див. рис. 1.2).

Перерахуємо призначення математичних панелей:

- Calculator (Калькулятор) - служить для вставки основних математичних операцій, отримала свою назву через схожість набору кнопок з кнопками типового калькулятора;

- Graph (Графік) - для вставки графіків;

- Matrix (Матриця) - для вставки матриць і матричних операторів;

- Evaluation (Вирази) - для вставки операторів управління обчисленнями;

- Calculus (Обчислення) - для вставки операторів інтегрування, диференціювання, підсумовування;

- Boolean (Булеві оператори) - для вставки логічних (булевих) операторів;

- Programming (Програмування) - для програмування засобами MathCAD;

- Greek (Грецькі символи) - для вставки грецьких символів;

- Symbolic (Символіка) - для вставки символьних операторів.

Рис. 1.6 Математичні панелі інструментів

При наведенні покажчика миші на багато з кнопок математичних панелей з'являється спливаюча підказка, що містить ще й поєднання " гарячих клавіш", натискання яких призведе до еквівалентної дії. Введення дій з клавіатури часто є зручнішим, ніж натискання кнопок панелей інструментів, але вимагає більшого досвіду.

1.5 Настроювання панелей інструментів

Викликати будь-яку панель на екран або приховати її можна за допомогою меню View (Вид) / Toolbars (Панелі інструментів), вибираючи у відчиненому підменю ім'я потрібної панелі (див. рис. 1.4). Математичні панелі, на відміну від основних, можна викликати або приховати натисненням відповідної кнопки панелі Math (Математика). Присутність або відсутність математичних панелей показано у вигляді натиснутої (або віджатою) відповідної кнопки (див. рис. 1.2, 1.3 або 1.6).

1.6 Робоча область

Велику частину вікна MathCAD займає робоча область, у яку користувач вводить математичні вирази, текстові поля і елементи програмування. Важливо вміти налаштувати робочу область для роботи, щоб добре орієнтуватися в документі.

2 Робота з документами

У MathCAD всі розрахунки організовуються на робочих областях, або " листах" (worksheets), спочатку порожніх, на які можна додавати формули і текст. Кожен документ являє собою незалежну серію математичних розрахунків і зберігається в окремому файлі. Документ є одночасно і лістингом MathCAD-програми, і результатом виконання цієї програми, отриминим при її виконанні, і звітом, придатним для роздруківки на принтері або публікації в Web.

2.1 Створення порожнього документа

Якщо MathCAD запускається з головного меню Windows (за допомогою кнопки Пуск в кутку екрану), наприклад Start / Programs / MathCAD 2001 (Пуск / Програми / MathCAD 2001), то вікно MathCAD з'являється з відкритим у ньому новим порожнім безіменним документом, умовно званим Untitled: 1.

Для того щоб створити новий порожній документ, вже працюючи в MathCAD, слід виконати одну з трьох еквівалентних дій:

- Натисніть одночасно клавіші < Ctrl> + < N>;

- Натисніть кнопку New (Створити) на панелі інструментів;

- Виберіть у верхньому меню File / New (Файл / Створити).

В результаті будь-якої з виконаних дій у вікні MathCAD з'являється порожній документ з умовною назвою Untitled: 2, або Untitled: 3 або т. д., залежно від того, який за рахунком новий документ створюється.

2.2 Збереження документа

Для того щоб зберегти документ у форматі MathCAD, виберіть File / Save (Файл / Зберегти), або натисніть клавіші < Ctrl> + < S> або кнопку Save на стандартній панелі інструментів. Якщо створений документ зберігається вперше, на екран буде виведено діалогове вікно Збереження (Save), в якому потрібно визначити його ім'я.

2.3 Введення і редагування формул

Формульний редактор MathCAD дозволяє швидко і ефективно вводити і змінювати математичні вирази. Тим не менш, деякі аспекти його застосування не зовсім інтуїтивні, що пов'язано з необхідністю уникнути помилок при розрахунках за цими формулам.

2.3.1 Введення формул

Ввести математичний вираз можна в будь-якому порожньому місці документа MathCAD. Для цього помістіть курсор введення в бажане місце документа, клацнувши у ньому мишею, і просто починайте вводити формулу, натискаючи клавіші на клавіатурі. При цьому в документі створюється математична область (math region), яка призначена для зберігання формул, що інтерпретуються процесором MathCAD. Продемонструємо послідовність дій на прикладі введення виразу х⁵ + х (рис. 2.7):

1. Клацніть мишею, позначивши місце введення.

2. Натисніть клавішу < х> - в цьому місці замість курсора введення з'явиться регіон з формулою, що містить один символ х, причому він буде виділений лініями введення.

3. Введіть оператор піднесення до ступеня, натиснувши клавішу < ^>, або вибравши кнопку піднесення до ступеня на панелі інструментів Calculator (Калькулятор) - у формулі з'явиться місцезаповнювач для введення значення ступеня, а лінії введення виділять цей місцезаповнювач.

4. Послідовно введіть решту символів < 5>, < +>, < х>.

Отже, помістити формулу в документ можна, просто починаючи вводити символи, числа або оператори, наприклад + або /. У всіх цих випадках на місці курсора введення створюється математична область, інакше звана регіоном, з формулою, що містить і лінії вводу. В останньому випадку, якщо користувач починає введення формули з оператора, в залежності від його типу, автоматично з'являються і місцезаповнювачі, без заповнення яких формула не сприйматиметься процесором MathCAD.

Рис. 2.7 Приклад введення формули (колаж)

Рис. 2.8 Приклад початку введення операторів

2.3.2 Зміна формул

Редагуйте формули в MathCAD так, як підказують вам інтуїція і досвід роботи з іншими текстовими редакторами. Більшість операцій редагування формул реалізовані природним чином, проте деякі з них дещо відрізняються від загальноприйнятих, що пов'язано з особливістю MathCAD як обчислювальної системи.

Вставка оператора

Послідовність вставки оператора в формулу така:

1. Помістіть лінії вводу на частину формули, яка повинна стати першим операндом.

2. Введіть оператор, натиснувши кнопку на панелі інструментів або комбінацію клавіш.

Примітка

Для того щоб вставити оператор не після, а перед частиною формули, виділеної лініями введення, натис-ніть перед його введенням клавішу < lns>, яка пересуне вертикальну лінію введення вперед. Це важливо, зокрема, для вставки оператора заперечення.

На рис. 2.9 показано кілька прикладів вставки оператора додавання в різні частини формули. В лівій колонці рис. 2.9 наведено можливі размещення ліній введення в формулі, а в правій - результат вставки оператора складання (тобто натискання клавіші < +>). Як видно, MathCAD сам розставляє, якщо це необхідно, дужки, щоб частина формули, відзначена лініями введення, стала першим доданком.

Рис. 2.9 Вставка оператора в різні частини формули (колаж)

Рис. 2.10 Вставка оператора виводу

Деякі оператори MathCAD вставить в правильне місце незалежно від положення ліній введення. Такий, наприклад, оператор чисельного виводу =, який за змістом видає значення всієї формули у вигляді числа. На рис. 2.10 показаний момент введення цього оператора в формулу за допомогою панеліCalculator (Калькулятор), а в лістингу 2.1 приведений результат його дії.

Лістинг 2.1. Обчислення простого виразу

3 Обчислення

3.1. Змінні і функції

Порядок обчислень в документі MathCAD очевидний: математичні вирази і дії сприймаються процесором зліва направо і зверху вниз.

3.1.1. Визначення змінних

Щоб визначити змінну, досить увести її ім'я і привласнити їй деяке значення, для чого служить оператор присвоювання (див. наступний розділ).

3.1.2. Присвоювання змінним значень

Щоб привласнити змінної нове значення, наприклад змінну х зробити рівною 10:

1. Введіть у бажаному місці документа ім'я змінної, наприклад х.

2. Введіть оператор присвоювання за допомогою клавіші <: > або натисканням відповідної кнопки Definition (Привласнення) на панелі інструментовCalculator (Калькулятор) або Evaluation (Вирази), як показано на рис. 3.1.

3. Введіть у новостворену місцезаповнювачі нове значення змінної (10).

Рис. 3.1. Результат введення оператора присвоювання

Результат перерахованих дій показаний в лістингу 3.1.

Лістинг 3.1. Присвоювання змінної чисельного значення

Ввести нове значення змінної можливо як у вигляді числа, так і у вигляді математичного виразу, що містить інші змінні (лістинг 3.2) і функції (див. наступні розділи), а також у вигляді строкового вирази (лістинг 3.3.). В останньому випадку буде створена змінна s не чисельність, а строкового типу.

Лістинг 3.2. Присвоювання змінної обчисленого значення виразу

Лістинг 3.3. Присвоювання змінної строкового значення

Якщо змінна з деяким ім'ям створюється в даному документі вперше, то для введення оператора присвоювання, замість двокрапки, допускається використовувати символ рівності " =", який MathCAD автоматично замінить символом присвоювання.

Примітка

У деяких випадках це неможливо, зокрема коли значення присвоюється змінній, ім'я якої зарезервовано MathCAD. Наприклад, присвоїти значення змінної з ім'ям N можна, лише запроваджуючи двокрапка, т. к. за замовчуванням це ім'я позначає в MathCAD розмірність сили (Ньютон).

Щоб перевизначити значення змінної, визначеної в документі, оператор присвоювання слід вводити не знаком рівності, а двокрапкою, або користуватися панеллю інструментів.

3.1.3. Функції

Функції в MathCAD записуються у звичайній для математика формі:

- F (х,...) - функція;

f - ім'я функції;

х,... - Список змінних.

Найлегше ввести написання функції в документ за допомогою клавіатури. У MathCAD формально можна розділити функції на два типи:

- Вбудовані функції;

- Функції, визначені користувачем.

Застосування функцій обох типів в розрахунках абсолютно однаково, з тим винятком, що будь-яку вбудовану функцію можна відразу використовувати в будь-якому місці документа (про вставлення вбудованих функцій в документ читайте в разд. " Знайомство з MathCAD" гл. 1), а для користувача функцію необхідно попередньо визначити в документі до моменту обчислення її значення.

3.1.4. Визначення функції користувача

Для того щоб визначити функцію користувача, наприклад f (x, y) = x²-cos (x + y):

1. Введіть у бажаному місці документа ім'я функції (f).

2. Введіть ліву дужку " (", імена змінних через кому х, у і праву дужку ")". При введенні лівої дужки і ком автоматично з'являтимуться відповідні местозаполнітелі.

3. Введіть оператор присвоювання з панелі інструментів або натисканням клавіші <: >.

4. Введіть у новостворену місцезаповнювач вираз, що визначає функцію x²-cos (x + y), користуючись клавіатурою або панелями інструментів.

Результат введення ілюструється лістингом 3.4.

Лістинг 3.4. Визначення функції користувача

Увага

Всі змінні, присутні праворуч у вираженні визначення функції, або повинні входити в список аргументів функції (в дужках, ліворуч після імені функції), або повинні бути визначені раніше. В іншому випадку буде виведено повідомлення про помилку, причому ім'я невизначеною змінної буде виділено червоним кольором (рис. 3.2).

Рис. 3.2 Повідомлення про помилку (" Ця змінна або функція раніше не визначена")

3.1.5. Висновок значень змінних і функцій

Щоб обчислити в документі деякий математичний вираз, яке може складатися з змінних, операторів і функцій (вбудованих і визначених користувачем):

1. Введіть цей вираз, наприклад ху;

2. Натисніть клавішу < =>.

В результаті праворуч від введеного знака рівності з'явиться обчислене значення виразу (лістинг 3.5, передостання рядок). Не можна змінювати вміст виразу праворуч від знаку рівності, оскільки воно є результат роботи обчислювального процесора MathCAD, абсолютно прихованої від очей користувача. Часом (коли вираз містить функції, що реалізують різні чисельні методи, часто в складних комбінаціях) алгоритми розрахунку бувають дуже вигадливими і займають істотне час. Про те, що деякий вираз документа знаходиться в стадії обчислення, свідчить обрамляє його зелена рамка і неможливість вжити будь-яку дію з програмою MathCAD.

Лістинг 3.5. Обчислення виразу

Висновок поточного значення тієї чи іншої змінної наведено в останньому рядку лістингу 3.5, а значення функції - в лістингах 3.6 і 3.7.

Лістинг 3.6. Вивід значення функції

Лістинг 3.7. Вивід значення функції (продовження лістингу 3.6)

Примітка

Уважніше ставтеся до обов'язкової вимоги збігу кількості аргументів при визначенні і виведенні значення функцій. Порівняйте, наприклад, лістинги 3.6 і 3.8, в яких, незважаючи на однакові вирази в правій частині визначення функції f, створюються дві істотно різні функції f (x, y) і f (х) відповідно.

Вводячи знак рівності для обчислення математичних виразів у MathCAD, ви фактично застосовуєте оператор обчислення, або чисельного виводу (numerical evaluation). Його можна ввести також натисненням кнопки зі знаком рівності на одній з панелей інструментів: Calculator (Калькулятор) іліEvaluation (Вирази) (див. рис. 3.1). Оператор чисельного виводу означає, що всі обчислення проводяться з числами, а різні вбудовані алгоритми реалізуються відповідними числовими методами.

3.1.6. Символьний вивід

Поряд з чисельним висновком, в MathCAD є можливість символьного, або аналітичного, обчислення значення виразу. Для символьних обчислень є ряд спеціальних засобів, які будуть детально розглянуті пізніше (див. гл. 5), найпростіше з них - це операторсімвольного виводу (symbolic evaluation). Він позначається символом -> і в більшості випадків застосовується точно так само, як оператор чисельного виводу, однак внутрішнє відмінність між дією цих двох операторів величезна. Якщо чисельний висновок - це в звичайному сенсі цього слова " запрограмований" розрахунок за формулами і чисельним методам, прихований від ока користувача, то символьний висновок - результат роботи системи штучного інтелекту, вбудованої в MathCAD і званої символьним процесором. Робота символьного процесора також невидима (і, найчастіше, навіть важко представима) користувачеві і полягає в аналізі самого тексту математичних виразів. Звичайно, набагато більш вузьке коло формул можна розрахувати символьно, хоча б тому, що, взагалі кажучи, відносно не така велика частина математичних задач допускає аналітичне рішення.

Щоб спробувати обчислити символьно математичний вираз, наприклад B. sin (arcsin (c. х)), де в, с, х - деякі змінні:

1. Введіть цей вираз: B. sin (asin (c. х)).

2. Введіть оператор символьного виводу поєднанням клавіш < Ctrl> + <.>, Або натисканням відповідної кнопки (рис. 3.4) на панелі Symbolic (Символіка) або Evaluation (Вирази).

Рис. 3.4. Кнопка вставки оператора символьного виводу

Після цього справа від символу оператора символьного виводу з'явиться певна аналітично значення виразу (лістінг. 3.10), або повідомлення про помилку " No answer found" (Відповідь не знайдено). Якщо символьному процесору MathCAD не вдається аналітично спростити вираз, то воно буде видано праворуч від знака -> в тому ж вигляді, що і зліва.

Лістинг 3.10. Символьний висновок вирази

Лістинг 3.11. Символьний висновок вираження, яке не вдалося спростити

Точно так само, як розраховуються чисельно значення функцій, можна обчислювати їх і за допомогою символьного процесора. Порівняйте відповідні результати, які представлені в лістингу 3.12 (звичайно, символьний і чисельний відповіді дорівнюють: 9 - cos (8) = -1.31). Аналогічно можна символьно виводити значення змінних. Наприклад, привласнити деякій змінній значення функції або складного виразу (лістинг 3.13, другий рядок) і потім вивести значення змінної в символьному вигляді.

Лістинг 3.12. Чисельний і символьний висновок значення функції

Лістинг 3.13. Чисельний і символьний висновок змінної

Як показують наведені приклади, перевага символьних обчислень полягає у видачі аналітичного результату, який для математика часто є більш цінним. Тому, виходячи із специфіки конкретних завдань, вирішуйте, чи варто поряд з чисельними розрахунками спробувати отримати і символьний розв'язок.

3.1.7 Обчислювальні оператори

Обчислювальні оператори вставляються в документи за допомогою панелі інструментів Calculus (Обчислення). При натисканні будь-якої з кнопок у документі з'являється символ відповідного математичного дії, забезпечений декількома местозаполнітелямі. Кількість і розташування місцезаповнювач визначається типом оператора і в точності відповідає їх загальноприйнятої математичної записи. Наприклад, при вставці оператора суми (рис. 3.7) необхідно задати чотири величини: змінну, по якій треба провести підсумовування, нижню і верхню межі, а також сам вираз, яке буде стояти під знаком суми (приклад заповненого оператора суми див. вище в лістингу 3.22). Для того щоб обчислити невизначений інтеграл, слід заповнити два местозаполнітеля: подинтегрального вирази і змінної інтегрування.

Рис. 3.5 Вставка оператора підсумовування

Після введення якогось обчислювального оператора є можливість обчислити його значення або чисельно, натисканням клавіші < = >, або символьно, за допомогою оператора символьного виводу.

Перелічимо основні обчислювальні оператори і наведемо найпростіші приклади їх застосування:

- диференціювання й інтегрування;

- похідна (лістинг 3.14);

- N-на похідна (лістинг 3.14);

- визначений інтеграл (лістинг 3.15);

невизначений інтеграл (лістинг 3.15).

- Підсумовування і обчислення добутку;

сума (лістинг 3.16);

добуток (лістинг 3.16);

сума ранжируваної змінної (лістинг 3.17);

твір ранжируваної змінної (лістинг 3.17).

- границі (лістинг 3.18);

двосторонній;

лівий;

правий.

Лістинг 3.14 Оператори обчислення похідних

Лістинг 3.15. Оператори інтегрування

Лістинг 3.16 Оператори підсумовування і обчислення добутку

Лістинг 3.17 Оператори підсумовування і добуток ранжированої змінної

Примітка

Про призначення та особливості використання ранжируваних змінних буде розказано в наступному розділі (див. розд. " Ранжірованние змінні" гл. 4).

Лістинг 3.18 Оператори символьного обчислення границі

Примітка

На відміну від інших, оператори пошуку границіі можуть бути обчислені тільки символьно.

Оператори підсумовування і обчислення добутку фактично є більш зручною записом операторів + і х з великою кількістю операндів. А ось обчислювальні оператори пошуку похідних і інтегралів істотно відрізняються від операторів множення і додавання тим, що реалізовані на основі певних чисельних методів, які в прихованій (невидимої для користувача) формі запускаються обчислювальним процесором MathCAD. При чисельному розрахунку інтегралів і похідних необхідно, хоча б у загальних рисах, представляти принцип роботи відповідних алгоритмів, щоб уникнути помилок і несподіванок при підставлянні.

Важливо відзначити, що є можливість обчислювати інтеграли з одною або обома нескінченними границями, а також в символьній формі шукати значення нескінченних границь, сум (рядів) та добутків. Для зручності введення кнопка з символом нескінченності поміщена на ту ж панель інструментів Calculus (Обчислення). Приклад вставки символу нескінченності в задачі пошуку нескінченного ряду наведено на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Пошук нескінченного ряду

3.1.8 Створення матриці командою Insert Matrix

Самий простий і наочний спосіб створення вектора або матриці полягає в наступному:

1. Натисніть кнопку Matrix or Vector (Матриця або вектор) на панелі Matrix (Матриця) (рис. 3.7) або клавіші < Ctrl> + < M>, або виберіть пункт меню Insert / Matrix (Вставка / Матриця).

2. У діалоговому вікні Insert Matrix (Вставка матриці) задайте ціле число стовпців і рядків матриці, яку хочете створити. Наприклад, для створення вектора 3x1, введіть показані на мал. 3.7 значення.

3. Натисніть кнопку ОК або Insert (Вставити) - в результаті в документ буде вставлена ​ ​ заготівка матриці з певним числом рядків і стовпців (мал. 3.8).

4. Введіть значення в місцезаповнювач елементів матриці. Переходити від одного елемента матриці до іншого можна за допомогою покажчика миші або клавіш зі стрілками.

Рис. 3.7 Вставка матриці

Рис. 3.8 Заповнення матриці елементами

На рис. 3.9 і 3.10 показані результати послідовної вставки в матрицю стовпця і рядка після визначення відповідного числа стовпців і рядків в діалозі Insert Matrix і натиснення в ньому кнопки Insert (Вставити).

Рис. 3.9 Додавання одного стовпця до матриці

Рис. 3.10 Додавання одного рядка до матриці

У місцезаповнювач елементів матриці можна вставляти не тільки числа (дійсні або комплексні), але і будь-які математичні вирази, що складаються з змінних, операторів, вбудованих і призначених для користувача функцій (лістинг 3.19, другий рядок).

Лістинг 3.19 Використання змінних і функцій

при визначенні матриці

Символьний процесор MathCAD дозволяє аналітично виконувати самі різні матричні обчислення. Пам'ятаючи про те, що більшість операцій та вбудованих функцій здійснюються над матрицями точно так само, як над звичайними числами, до матричних обчислень можна застосовувати розглянуту вище команду спрощення (Simplify) з меню символьних обчислень.

Крім того, є ряд специфічних матричних операцій, які можна організувати або за допомогою пункту меню Symbolics / Matrix (Символіка / Матриця), або за допомогою кількох кнопок на панелі Symbolic (Символіка), що відносяться до матриць. Це наступні матричні операції:

- Transpose (Транспонування)

- Invert (Зворотний матриця)

- Determinant (Визначник)

Виконуються дії з матрицями в тій же послідовності, що й розглянуті символьні операції зі скалярними змінними. Перед їх застосуванням не забувайте виділити у виразі матрицю, до якої буде належати операція.

3.1.9 Розкладання складного дробу на елементарні дроби (Convert to Partial Fractions)

Щоб розкласти складну дріб на більш прості дроби, слід або виконати команду Symbolics / Variable / Convert to Partial Fractions (Сим Воліка / Змінна / Розкласти на елементарні дроби) (рис. 3.11), або вказати ключове слово parfrac (лістинг 3.20). Застосовуючи перший спосіб (меню), не забувайте перед вибором його команди виділити змінну, по якій буде проводитися розкладання, а якщо використовується другий спосіб (з оператором символьного виводу), то ім'я змінної слід вказати після ключового слова parfrac. Загалом, послідовність дій при розкладанні на дроби та ж сама, що і звичайно.

Рис. 3.11 Розкладання складного дробу на елементарні дроби

Лістинг 3.20. Розкладання на елементарні дроби

Символьний процесор MathCAD дозволяє аналітично виконувати різні матричні обчислення. Пам'ятаючи про те, що більшість операцій та вбудованих функцій здійснюються над матрицями точно так само, як над звичайна числами, до матричних обчислень можна застосовувати розглянуту вище команду спрощення (Simplify) з меню символьних обчислення.

3.1.10 Диференціювання (Differentiate)

Щоб аналітично продиференціювати вираз по деякій змінній, виділіть в ньому цю змінну і виберіть команду Symbolics / Variable / Differentiate (Символіка / Змінна / Диференціювати) (рис. 5.13).

Рис. 3.12 Диференціювання по змінній

У результаті в наступному рядку за виразом з'явиться значення її похідної. Для того щоб знайти другу похідну, повторно застосуєте цю послідовність дій, але вже до отриманого результату диференціювання. Так само знаходяться і похідні вищих порядків.

3.1.20 Інтегрування (Integrate)

Для обчислення невизначеного інтеграла від деякого виразу за визначеною змінною виділіть у вираженні змінну і виконайте команду Symbolics / Variable / Integrate (Символіка / Змінна / Інтегрувати) (рис. 3.13). Обчислене аналітичне уявлення невизначеного інтеграла з'явиться нижче. При цьому результат може містити як вбудовані в MathCAD функції так і інші спеціальні функції, які не можна безпосередньо розрахувати в MathCAD, але символьний процесор " вміє" видавати їх в якості результату деяких символьних операцій.

Рис. 3.13 Інтегрування за змінною

3.1.21 Пошук кореня функції на інтервалі

Нехай необхідно знайти корінь функції на інтервалі [а, b], про який відомо, що всередині нього один корінь знаходиться. У цьому випадку слід використовувати функцію root із чотирма аргументами, як показано в лістингу 3.21. Пошук кореня буде здійснений в проміжку між а і ь альтернативним чисельним методом (Ріддера або Брента).

Лістинг 3.21 Пошук кореня алгебраїчного рівняння в заданому інтервалі

Зверніть увагу, що явний вид функції f (х) може бути визначений безпосередньо в тілі функції root.

Коли root має чотири аргументи, слід пам'ятати про дві її особливості:

- всередині інтервалу [а, ь] не повинно знаходитися більше одного кореня, інакше буде знайдений один з них, заздалегідь невідомо який саме;

- значення f(а) і f(b) повинні мати різний знак, інакше буде видане повідомлення про помилку.