Средняя квадратическая ошибка функции

Пусть дана функция

,

где величины — измерены независимо. Известны их средние квадратические ошибки .

Средняя квадратическая ошибка функции (2.1) вычисляется по формуле:

.

Если величины коррелированы, т.е. коэффициенты попарной корреляционной связи отличны от нуля, , то средняя квадратическая ошибка функции вычисляется по формуле:

.

где — частные производные функции, взятые по точным значениям величин Х_i, но вычисленные по их приближённым значениям, в качестве которых принимают измеренные значения х_i, близкие к точным значениям.

Предрасчёт ожидаемой средней квадратической ошибки функции по формулам и называют решением прямой задачи теории ошибок.

Задача 2.1. В треугольнике измерены два угла, известны их средние квадратические ошибки , . Найти среднюю квадратическую ошибку третьего угла, вычисленного по двум измеренным.

Решение. Составляем функцию ; имеем:

; ;

— точное число; x ₁ и x ₂ — независимо измеренные углы.

Тогда по формуле имеем:

; .

Задача 2.2. Определить среднюю квадратическую ошибку превышения, вычисленного по формуле , где S — горизонтальное проложение, n — угол наклона. Известно, что ; ; ; ; .

Решение. Находим и по формуле его среднюю квадратическую ошибку m_h:

*),

где

; .

Тогда

.

; ; ; .

Известно, что величина m_h должна быть получена с двумя (или тремя, если число начинается с единицы) значащими цифрами. Чтобы это требование обеспечить, необходимо в промежуточных вычислениях по формуле удерживать в числах на одну значащую цифру больше, т.е. оставлять три (или четыре) значащие цифры, а сами числа следует представлять в стандартной форме. Например, число 0, 04366² необходимо записать так: ; число 3438² следует записать так: . Такие действия позволят упростить вычисления по формуле и, кроме того, дадут представление о величине влияния каждого источника ошибок на общую среднюю квадратическую ошибку функции.

С учётом сказанного выше находим:

По результатам вычислений видно, что влияние линейных и угловых ошибок измерений в данной задаче примерно одинаково. Окончательно получаем:

.

Ответ: .

При решении обратной задачи теории ошибок — расчёте точности измерений аргументов по заданной средней квадратической ошибке функции — применяют так называемый принцип равных влияний, требование которого состоит в том, чтобы влияние каждого источника ошибок на общую ошибку функции было одинаковым.

Так из формулы следует:

и

.

Все находят из решения уравнений.

Задачи для контроля. Найти средние квадратические ошибки следующих функций независимо измеренных величин:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .