направления ЭЛЭТ

Вариант контрольной работы определяется последней цифрой номера зачетной книжки (0 соответствует варианту 10).

Задание № 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области , ограниченной заданными линиями.

1. , : , , .

2. , : , , .

3. , : , , , .

4. , : , , .

5. , : , .

6. , : , , .

7. , : , , .

8. , : , , , .

9. , : , .

10. , : , , .

Задание № 2. Решить дифференциальные уравнения.

1.	а)	,	2.	а)	,
	б)	.		б)	.
3.	а)	,	4.	а)	,
	б)	.		б)	.
5.	а)	,	6.	а)	,
	б)	.		б)	.
7.	а)	,	8.	а)	,
	б)	.		б)	.
9.	а)	,	10.	а)	,
	б)	.		б)	.

Задание № 3. Найти решение задачи Коши.

1. , , .

2. , , .

3. , , .

4. , , .

5. , , .

6. , , .

7. , , .

8. , , .

9. , , .

10. , , .

Задание № 4. Исследовать на сходимость ряды.

1.	а)	,	2.	а)	,	3.	а)	,
	б)	.		б)	.		б)	.
4.	а)	,	5.	а)	,	6.	а)	,
	б)	.		б)	.		б)	.
7.	а)	,	8.	а)	,	9.	а)	,
	б)	.		б)	.		б)	.
10.	а)	,
	б)	.

Задание № 5. Вычислить определенный интеграл с точностью до , разложив подынтегральную функцию в степенной ряд, а затем проинтегрировав его почленно.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. . 8. .

9. . 10. .

Задание № 6. Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной указанными линиями.

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

Задание № 7. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода по кривой от точки до точки .

1. , , , .

2. , , , .

3. , , , .

4. , , , .

5. , , , .

6. , , , .

7. , , , .

8. , , , .

9. , , , .

10. , , , .

Задание № 8. В первой урне белых и черных шаров, а во второй урне белых и черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают шаров и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают шаров. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.

1. , , , , , .

2. , , , , , .

3. , , , , , .

4. , , , , , .

5. , , , , , .

6. , , , , , .

7. , , , , , .

8. , , , , , .

9. , , , , , .

10. , , , , , .

Вопросы программы на 2-ой семестр

1. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Множества евклидова пространства. Предел последовательности точек евклидова пространства. Понятие функции многих переменных. Предел функции многих переменных. Непрерывные функции многих переменных. Частные производные. Дифференцируемость функций. Дифференциал функции. Дифференцирование сложных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функций многих переменных. Понятие экстремума функции многих переменных. Необходимые условия экстремума. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. Достаточные условия экстремума функции многих переменных. Частный случай для функции двух переменных. Условный экстремум и метод неопределенных множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значение функции многих переменных в замкнутой области.

2. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Геометрические и физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка и теорема о существовании и единственности ее решения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Пять видов дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка, свойства их решений. Линейная независимость функций. Определитель Вронского. Структура общего решения однородного и неоднородного линейного дифференциального уравнения. Линейные однородные дифференциальные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.

Понятие системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы решения нормальных систем. Динамическая система, фазовое пространство, фазовые траектории.

3. Ряды. Понятие числового ряда, суммы и сходимости ряда. Критерий Коши. Свойства сходящихся рядов. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Знакопеременные ряды и признаки их сходимости. Абсолютная и условная сходимость. Функциональная последовательность, ее сходимость. Равномерная сходимость функциональных последовательностей. Понятие функционального ряда. Равномерная сходимость рядов. Признаки равномерной сходимости. Свойства равномерно сходящихся рядов. Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Радиус и интервал сходимости. Свойства сумм степенных рядов. Ряд Тейлора. Условия представления функции рядом Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

4. Интегральное исчисление функций многих переменных и элементы векторного анализа. Определение двойного интеграла и его свойства. Геометрический смысл двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу. Замена переменных в двойном интеграле. Определение тройного интеграла и его свойства. Сведение тройного интеграла к повторному интегралу. Замена переменных в тройном интеграле. Приложения двойных и тройных интегралов. Определение криволинейного интеграла первого рода и его свойства. Вычисление криволинейного интеграла с помощью определенного интеграла. Определение криволинейного интеграла второго рода и его свойства. Вычисление криволинейного интеграла с помощью определенного интеграла. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Определение поверхностного интеграла первого рода и его свойства. Вычисление поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла. Ориентированные поверхности. Определение поверхностного интеграла второго рода и его свойства. Вычисление поверхностного интеграла второго рода с помощью двойного интеграла. Формула Остроградского-Гаусса. Формула Стокса. Скалярные поля. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его свойства. Векторные поля. Векторные линии и векторные трубки векторного поля. Поток векторного поля. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме. Линейный интеграл. Циркуляция. Ротор. Формула Стокса в векторной форме. Соленоидальное поле и его свойства. Закон сохранения интенсивности векторной трубки. Потенциальное поле. Критерий потенциальности векторного поля. Свойства потенциального поля. Операторы Гамильтона и Лапласа. Правила действий с оператором Гамильтона. Основные тождества векторного анализа. Выражения для градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в ортогональной криволинейной системе координат.

5. Теория функций комплексной переменной (ФКП). Кривые и области в комплексной плоскости. Однозначные, многозначные, однолистные, сложные, обратные ФКП. Предел ФКП в точке. Непрерывность ФКП. Основные элементарные ФКП и их свойства. Понятие производной ФКП. Дифференцируемые ФКП, их свойства. Условия Коши-Римана. Аналитические ФКП в точке и в области. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции. Гармонические функции, их связь с аналитическими ФКП. Определение, свойства и вычисление интеграла ФКП. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Числовые ряды с комплексными членами. Функциональные ряды с комплексными членами. Равномерно сходящиеся функциональные ряды с комплексными членами, их свойства. Степенные ряды с комплексными членами. Ряд Тейлора с комплексными членами. Ряд Лорана. Условие разложение ФКП в ряд Лорана. Классификация изолированных особых точек аналитической функции. Поведение ФКП в бесконечно удаленной точке. Понятие вычета. Вычисление вычетов. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов.

6. Теория вероятностей и математическая статистика. Виды случайных событий. Алгебра событий. Классическое и статистическое определения вероятности. Геометрическое определение вероятности. Задача о встрече. Аксиоматическое определение вероятности. Применение формул комбинаторики для вычисления вероятностей случайных событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Дискретные скалярные случайные величины. Функция распределения дискретных случайных величин, ее свойства. Непрерывные скалярные случайные величины. Функция распределения непрерывных случайных величин. Плотность распределения случайных величин, ее свойства. Математическое ожидание дискретных случайных величин и его свойства. Дисперсия дискретных случайных величин и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение. Математическое ожидание и дисперсия непрерывных случайных величин. Мода и медиана случайной величины. Моменты случайной величины. Биноминальный закон распределения. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Равномерный закон распределения. Показательный закон распределения. Нормальный закон распределения. Функции от случайных величин. Векторные случайные величины и их основные характеристики. Векторные случайные величины. Корреляционный момент, коэффициент корреляции. Закон больших чисел. Теорема Бернулли. Неравенство и теорема Чебышева. Центральная предельная теорема. Генеральная совокупность и выборка. Статистические ряды. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма и полигон частот. Понятие оценки. Классификация точечных оценок. Методы нахождения точечных оценок. Выборочное среднее. Выборочная дисперсия, исправленная выборочная дисперсия. Интервальные оценки. Доверительные интервалы для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности при известной и неизвестной дисперсии. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормально распределенной генеральной совокупности. Понятия статистической гипотезы, статистического критерия, критической области. Ошибки первого и второго рода. Схема статистической проверки гипотезы. Проверка гипотез о законе распределения. Критерий согласия Пирсона. Проверка гипотез о предполагаемой величине параметра распределения. Линейная регрессия. Криволинейная регрессия. Метод наименьших квадратов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. Под ред. И.М. Петрушко. Лекции и практикум (учебное пособие) Лань, 2008.

2. Линейная алгебра и геометрия. А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Лань, 2008.

3. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1, 2 Н.С. Пискунов, М. Интеграл-пресс. 2007.

4. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. Учебное пособие. Лань, 2008.

5. Практическое руководство к решению задач по высшей математике. (линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ), Лань, 2007.

6. Сборник задач по математике для втузов в 4 частях. Под ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова, М., ФМ, 2004.

7. Аналитическая геометрия в примерах и задачах. А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. М., Высшая школа, 2005.

8. Математика (общий курс) - Б.М. Владимирский, А.Б. Горстко, Я.М. Ерусалимский, Лань, 2004.

9. Неопределенный интеграл: практикум: учеб. пособие / Д. Г. Орловский. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2006.

10. Курс высшей математики. Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения: лекции и практикум: учеб. пособие / под ред. И. М. Петрушко. - СПб.; М. - Краснодар: Лань, 2006.

11. Курс высшей математики. Кратные интегралы. Векторный анализ: лекции и практикум: учеб. пособие / под ред., И. М. Петрушко. - 2-е изд., испр. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2007

12. Курс высшей математики. Теория вероятностей: лекции и практикум: учеб. пособие / под ред. И. М. Петрушко. - 2-е изд., испр. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2007.

13. Лекции по высшей математике. Учебное пособие. А.Д. Мышкис, Лань, 2007

14. Сборник задач по высшей математике (с контрольными работами). Т. I, Т.II. К.Н.Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. М., Айрис-пресс, 2004.

15. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. О.Н. Цубербиллер. Лань, 2007.

16. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. Д.Т. Письменный. М.: Айрис-пресс. 2009.

17. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. Д.Т. Письменный. М.: Айрис-пресс. 2006.

18. Теория вероятностей и математическая статистика. В.Е. Гмурман. М. Высшая школа. 2006.

19. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учеб. пособие. В.Е. Гмурман. М.: Высшее образование. 2006.

20. Мочалин А.А., Гончарова Г.А., Гарбуз Е.В. Высшая математика: Учеб. пособие. Саратов.: СГТУ, 2001.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Образец титульного листа.

(Бланк вырезается и наклеивается на тетрадь.)

Примечание: Работы по почте не отсылать, в деканат не сдавать, сдавать лично в установленные сроки. Сдавать работы преподавателям запрещено! Срок сдачи работ за месяц до начала сессии, максимум за 15 дней до начала общей сессии. В первый день сессии имеют право сдать работы, иногородние студенты. Работы не до конца выполненные считаются не сделанными и отправляются на конец сессии.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Пример оформления тетради.

(Контрольная работа выполняется рукописно в тетради объемом 12-18 листов.)

Контрольная работа №2 Вариант №1

Пропускается вниз 4 строчки

Задание № 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области , ограниченной линиями: , , .

Решение:

Пример полностью расписывается со всеми пояснениями, необходимые выделения (жирный шрифт) выполняются в тетради другим цветом. Чёрной и красной пастой писать запрещено (чёрной можно только выделять). Писать нужно (обязательно!) через строчку. Графики строятся в ручную, только по линейке и карандашом, можно на миллиметровке. Строить графики на компьютере запрещено.

Между заданиями оставляются 6 пустых строчек

Задание № 2. Решить дифференциальные уравнения:

а) ,

б) .

Решение:

После последнего задания указывается список литературы (минимум 6 книг), которыми вы пользовались.

Список литературы

1. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. Д.Т. Письменный. М.: Айрис-пресс. 2009.

2. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1, 2 Н.С. Пискунов, М. Интеграл-пресс. 2007.

3. Курс высшей математики. Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения: лекции и практикум: учеб. пособие / под ред. И. М. Петрушко. - СПб.; М. - Краснодар: Лань, 2006.

4. Курс высшей математики. Кратные интегралы. Векторный анализ: лекции и практикум: учеб. пособие / под ред., И. М. Петрушко. - 2-е изд., испр. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2007

5. Сборник задач по математике для втузов. Ч.2-4. Под ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова, М., ФМ, 2004.

6. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учеб. пособие. В.Е. Гмурман. М.: Высшее образование. 2006.

В конце работы пишется:

Работу выполнил: дата, подпись