Полином Лагранжа

Решение ищем в виде , где – базисные полиномы -й степени, для которых выполняется условие: . Убедимся в том, что если такие полиномы построены, то будет удовлетворять условиям интерполяции: Каким образом построить базисные полиномы? Определим

, .

Легко понять, что

, , и т.д.

Функция является полиномом –й степени от и для нее выполняются условия «базисности»:

, т.е. ;

.

Таким образом, нам удалось решить задачу о построении интерполирующего полинома -й степени, и для этого не нужно решать СЛАУ. Полином Лагранжа можно записать в виде компактной формулы: . Погрешность этой формулы можно оценить, если исходная функция имеет производные до порядка:

.

Из этой формулы следует, что погрешность метода зависит от свойств функции , а также от расположения узлов интерполяции и точки . Как показывают расчетные эксперименты, полином Лагранжа имеет малую погрешность при небольших значениях . При бό льших погрешность начинает расти, что свидетельствует о том, что метод Лагранжа не сходится (т.е. его погрешность не убывает с ростом ).

Рассмотрим частные случаи. Пусть , т.е. заданы значения функции только в двух точках. Тогда базовые полиномы имеют вид:

, , ,

т.е. получаем формулы кусочно-линейной интерполяции.

Пусть . Тогда:

, , ,

.

В результате мы получили формулы, так называемой квадратичной или параболической интерполяции.

ПРИМЕР 3.3. Задана таблица значений функции:

				3, 5
	-1	0, 2	0, 5	0, 8

Требуется найти значение функции при , используя интерполяционный полином Лагранжа. Для этого случая , т.е. полином Лагранжа имеет третий порядок. Вычислим значения базисных полиномов при :

,

,

,

Итак, интерполирующая функция принимает в точке 1 значение -0, 129.