Основная система и канонические уравнения метода перемещений в расчетах на устойчивость

Для отыскания критического состояния системы (рис. 1.2, а), исходное равновесие которой обозначено штриховыми линиями, в соответствии с принципом малых возмущений задается отклонение некоторым малым воздействием (на рис. 1.2, а – силой Т). Возмущенное состояние системы характеризуется искривлением первоначально прямых стержней и возникновением в общем случае поворотов и линейных смещений узлов (см. рис. 1.2, a). Эти линейные и угловые перемещения узлов принимаются за основные неизвестные в расчете на устойчивость методом перемещений.

а) Ft = at F Zi

б) Zi T F 1 Fu n – 1 n k i Zn Zn– 1 Zk Z 2 Z 1 Ft F 2

Рис. 1.2

Основ­ная система метода перемещений (ОСМП) получается путем наложения на узлы заданной системы линейных и угловых связей, устраняющих возможность перемещений узлов (см. рис. 1.2, б). Полученная таким образом основная система кинематически определима и имеет минимально необходимое число введенных связей. Количество связей может быть больше минимально необходимого, если в число основных неизвестных дополнительно включать перемещения некоторых промежуточных сечений элементов.

Особенностью основной системы метода перемещений в расче­те на устойчивость является то, что связи накладываются на за­груженную систему, когда нагрузка уравновешена силами упругости исходной формы равновесия – продоль­ными силами (j =1, 2, …, m). Следовательно, введенные связи не участвуют в восприятии заданных воздействий, и поэтому нагрузка является неотъемлемым компонентом основной системы. В теории устойчивости такую нагрузку называют параметрической, то есть входящей в число параметров, характеризующих рассматриваемую систему, наряду с такими привычными исходными данными, как геометрические размеры, жесткости сечений элементов, типы связей.

Если введенным связям основ­ной системы задать смещения, рав­ные соответствующим угловым и ли­нейным перемещениям узлов заданной сис­темы в возмущенном состоянии (с учетом Т), то напряженно-деформированные состояния обеих систем окажутся одинако­выми. При этом реакции введенных связей в основной системе должны быть равны нулю, поскольку в заданной системе эти связи отсутствуют:

R_i = 0, i = 1, 2, …, n. (1.1)

В процессе перехода системы от первоначальной формы равновесия к новой (изгибной) форме элементы системы испытывают продольно-поперечный изгиб. Продольные силы в стерж-нях остаются при этом практически неизменными, что является следствием одного из приня­тых выше допущений ( < < ). Из курса сопротивления материалов известно, что сжато- или растянуто-изогнутый элемент, дефор­мируемый в поперечном направлении при фиксированной продольной силе, работает как линейно упругий, если перемещения малы и напряжения в материале не превышают предела пропорциональности. Для системы, целиком состоящей из линейно деформируемых элементов, справедлив принцип суперпозиции (независимости воздействий), поэтому полная реакция i -й связи может рассматриваться как сумма реакций, возникающих в этой связи от смещений Z ₁, Z ₂,.., Z_n (каждого в отдельности), а также от возмущающего воздействия T:

R_i = R_iZ + R_iT = = R_{i 1}+ R_{i 2} +…+ R_ik +…+ R_in + R_iT. (1.2)

Следует обратить внимание на то, что в выражение R_i не вошло слагаемое R_iF (реакция i -й связи от заданной нагрузки), поскольку, как уже отмечалось, введенные связи не участвуют в восприятии нагрузки при отсутствии смещений узлов. Последний член в (1.2) отражает влияние возмущения Т, роль которого состоит в том, чтобы отклонить систему от исходного равновесия, после чего воздействие Т «снимается», и далее изучается поведение загруженной силами F ₁ , F ₂ , …, F_t, …, F_u системы уже без фактора Т. Формально устранение Т описывается как Т = 0, тогда и R_iT = 0.

Еще раз используя свойство линейности системы, реакцию R_ik от перемещения Z_k можно записать в следующем виде:

R_ik = r_ik Z_k, (1.3)

где r_ik – реакция i -й связи от единичного смещения k -й связи

(от Z_k = 1).

Объединяя выражения (1.1), (1.2) и (1.3) и учитывая, что R_iT = 0, получаем систему канонических уравнений метода перемещений для расчета на устой­чивость:

i = 1, 2, …, n. (1.4)

или в развернутом виде:

(1.5)

Матричная форма записи канонических уравнений:

(1.6)

Канонические уравнения описывают возмущенное состояние системы, качественно альтернативное исходному. Они линейны относительно основных неизвестных Z и однородны (не имеют свободных членов) – это следствие использования предпосылок линейной теории устойчивости.

Компоненты r_ik матрицы внешней жесткости представляют собой реакции введенных связей в единичных состояниях основной системы (от единичных смещений этих связей). Для определения r_ik можно использовать те же способы, что при расчетах на прочность:

– статический – с составлением уравнений равновесия узлов и отсеченных частей основной системы;

– перемножением эпюр:

(1.7)

где второй член относится только к элементам типа затяжек, вант и т.п., работающим в основном на растяжение или сжатие; третий позволяет учитывать деформации сдвига (отсюда видно, что от одной из рабочих гипотез метода – см. п. 1.1 – можно отказаться); последнее слагаемое учитывает влияние упругоподатливых связей системы (С_j – жесткость j -й свя­зи);

– кинематический – по теореме об определении реакций связей через возможную работу концевых усилий в единичных состояниях:

, (1.8)

где a_i и S_k – векторы смещений концевых сечений элементов и концевых усилий соответственно в i -м (от Z_i = 1) и k -м (от Z_k = 1) единичных состояниях основной системы (S_k можно определять через матрицу K внутренней жесткости основной системы и вектор концевых смещений a_k в k -м состоянии: S_k = ).

Используя матрицы смещений концевых сечений и концевых усилий во всех единичных состояниях (матрицы a = [ а ₁… a_i... a_n ] и S ₀ = = [ S ₁… S_k … S_n ]), можно вычислять матрицу внешней жесткости:

r = (1.9)

и реакций концевых связей типовых

сжато-изогнутых элементов основной

систе­мы метода перемещений от смещений концевых сечений. Все эпюры изгибающих моментов и поперечных сил имеют криволинейное очертание. Характерные ординаты эпюр выражены через специальные функции j ₁ (n_j), j ₂ (n_j) и т. д., аргументом которых является коэффициент продольной силы данного элемента

, (1.10)

где j – номер элемента; l_j – длина стержня; EI_j – жесткость

попе­речного сечения при изгибе; N_j – продольная сила

(положительная – растягивающая).

Специальные функции характеризуют влияние продольной силы на распределение внутренних усилий М и Q. Легко заметить, что постоянные множители в выражениях характерных ординат эпюрдля сжато-изогнутых элементов точно такие же, как в стандартных эпюрах метода перемещений при расчетах на прочность. Если эле­мент не испытывает сжатия или растяжения от заданной нагрузки (N_j = 0), то n_j = 0, при этом j ₁(0) = j ₂(0) =…= = h ₃(0) = 1, и эпюры, приведенные в табл. 1 Приложения, вырождаются в прямолинейные, фигу­рирующие в расчетах на прочность.

Обратим внимание на то, что в матрицах жесткости элементов 1-го, 2-го и 4-го типов (табл. 1) в качестве концевых усилий, соответствующих концевым смещениям, перепендикулярным к продольной оси стержня в исходном состоянии, выступают реакции концевых связей (в общем случае они не равны концевым поперечным силам – это следствие расчета по деформированному состоянию; указанные силы совпадают, только если концевое сечение не поворачивается).

Аналитические выражения функций j ₁ (n), j ₂ (n) и др., данные в «Приложении», получены с учётом только деформаций изгиба при условии постоянства сечения элемента – для этого использовано решение методом начальных параметров дифференциального уравне­ния продольно-поперечного изгиба первоначально прямолинейного сжатого стержня. Если нужно учесть влияние деформации сдвига, то вместо изгибной жесткости сечения элемента EI_j в расчет вводится приведенная жесткость при изгибе со сдвигом , где – «единичный» сдвиг (обобщенный угол сдвига на уровне продольной оси j -го стержня от поперечной силы Q_j = 1). В отличие от EI_j, являющейся характеристикой только самого элемента, зависит также от продольной силы в стержне и, следовательно, в конечном счете – от заданной нагрузки. Это вызывает некоторое усложнение расчета – подробнее об этом сказано в [ 9 ].

Заметим, что при растягивающей продольной силе тригонометрические функции в выражениях j ₁ (n), j ₂ (n) и др. должны быть заменены одноименными гиперболическими функциями (это дает возможность отказаться еще от одной рабочей гипотезы метода – см. п. 1.1).

Определяя реакции r_ik статическим способом, все уравнения равновесия следует записывать обязательно для деформиро­ванного состояния системы, с учетом перемещений, вызванных единичными смещениями связей, и заданных узловых нагрузок. При этом нужно иметь в виду особенность поведения шарнирно закрепленного по концам сжатого стержня (элемента 4-го типа): при взаимном смещении концов элемента по нормали к его оси он не испытывает изгиба, но возникают реакции, перпендикулярные к направлению оси стержня в исходном состоянии (см. Приложение).

Очевидно, что реакции r_ik в общем случае являются функциями с аргументами n ₁, n ₂, …, n_m, поскольку представляют собой линейные комбинации специальных функций указанных аргументов. Но коэффициенты n_j не являются независимыми – их отношения выражаются через отношения длин, жесткостей сечений и продольных сил, известных из исходных данных:

. (1.11)

Следовательно, все n_j могут быть выражены через один общий (ведущий) параметр n ₀:

n_j = y_j (j = ), (1.12)

причем числовые коэффициенты y_j вычисляются по формуле

y_j = , (1.13)

где d – номер элемента, принятого за «ведущий».

В качестве ведущего параметра n ₀целесообразно принимать наибольший из коэффициентов n_j:

n ₀= max n_j = n_d = l_d (1.14)

(объяснение этой рекомендации будет дано позднее).

С учетом (1.12) любую реакцию r_ik можно представить как функцию одного аргумента n ₀, а поскольку n ₀ зависит от параметра нагрузки F, то в конечном счете F входит в матрицу внешней жесткости как одна из характеристик рассчитываемой системы (т.е. параметрически, как уже отмечалось выше).