Дилемма заключенного» в бесконечно повторяющейся игре

Рассмотрим каким образом парадокс Бертрана может быть разрешен в бесконечно повторяющейся игре, используя терминологию теории игр.

Если взаимодействие двух фирм продолжается один период времени, то игра приобретает характер «дилеммы заключенного». Возможные комбинации стратегий фирм и получаемых ими выигрышей представлены на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Матрица ценовой игры в модели Бертрана

Фирмы могут выбирать стратегии низкой или высокой цены и получать соответственно результаты (прибыли) такие, что π 2< π 1> π 4> π 3. Отсюда доминирующей стратегией для каждой фирмы будет стратегия «назначать низкую цену».

Если их взаимодействие продолжится бесконечно долго доминирующими могут быть только две стратегии:

1. Стратегия «руки, дрожащей на курке» - назначать высокую цену в момент (t), если другая фирма назначила высокую цену в момент (t1) или назначить низкую цену в противном случае.

2. Стратегия «хищничества» - назначать низкую цену в любой момент времени.

Максимальный выигрыш каждой фирмы в результате применения первой стратегии с учетом дисконтирования равен:

(4.1)

где π 1 - прибыль, полученная фирмой, назначающей высокую цену, при условии, что другая фирма также назначает высокую цену; δ - дисконтирующий множитель, связанный со ставкой дисконтирования δ = 1/(1+i), I - ставка дисконтирования; ρ - вероятность в момент времени t того, что фирмы будут взаимодействовать в момент (t+1) - вероятность продолжения игры в будущем.

Максимальный выигрыш фирмы от применения второй стратегии равен:

(4.2)

где π 2- прибыль, полученная фирмой, назначающей низкую цену, при условии, что другая фирма назначает высокую цену; π 4 - прибыль, полученная фирмой, назначающей низкую цену, при условии, что другая фирма назначает низкую цену.

Выбор оптимальной стратегии фирмы, таким образом, зависит от соотношения значений выигрышей по каждому из возможных вариантов.

Если РV(р)1 > РV(р)2, то есть если

и (4.3)

то стимулов вести ценовую войну у фирм не будет.

Выбор стратегии «ценовой войны» или «ценового мира» зависит как от объективных факторов - вероятности продолжения взаимодействия фирм в будущем, так и от субъективных факторов - межвременных предпочтений фирм.