Дифференциальное уравнение теплопроводности

Допущения:

-тепло однородно и изотропно;

-физические параметры постоянны;

-деформация объема за счет изменения температуры – бесконечно малая величина;

-макроскопические частицы тела неподвижны;

-внутренние источники тепла распределены равномерно.

В основу вывода положен закон сохранения энергии, который в нашем случае может быть сформулирован следующим образом: количество тепла , введенное в элементарный объем извне за время вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии вещества в этом объеме.

.

,

где - проекция плотности теплового потока на направление нормали к грани.

.

.

непрерывна и может быть разложена в ряд Тейлора.

Возьмем два члена ряда

.

Аналогично и .

.

.

.

.

Но проекции вектора плотности теплового потока на оси будут:

, где , т.е. и т.д.

- оператор Лапласа

= скорость изменения температуры, существует для нестационарных процессов. Для металлов .

Частные формы

если =0

если стационарный тепловой режим =0

если одно или двухмерное поле.

Вопросы:

1. Распространяется ли тепло в направлении, перпендикулярном нормали к изотермической поверхности?
2. В каком случае
3. Почему коэффициент теплопроводности влажного кирпича больше, чем воды и сухого кирпича ?
4. Почему в дифференциальном уравнении функция считается непрерывной?
5. Что может служить внутренними источниками тепла?

Лекция №3

Основные понятия конвективного теплообмена

Конвективный теплообмен или теплоотдача – перенос тепла между поверхностью твердого тела и жидкой средой за счет совместного действия теплопроводности среды и конвекции в ней.

Различают три вида движения жидкости при теплообмене: вынужденное, свободное, капиллярное.

Вынужденное движение возникает под действием посторонних возбудителей (насос, вентилятор и др.)

Свободное движение происходит за счет разности плотностей нагретых и холодных частиц жидкости в поле тяжести. Возникновение и интенсивность свободного движения определяется родом жидкости, изменением температуры, напряженностью гравитационного поля, объемом пространства.

Капиллярное возникает за счет сил притяжения в пористых структурах и трубах малого диаметра (тепловые трубы).

В технике наряду с вынужденным движением проявляется свободное. Чем выше , тем больше относительное влияние последнего.

Закон Ньютона-Рихмана

, .

, .

- коэффициент теплоотдачи - количество теплоты, которое отводится в единицу времени при разности температурного напора между стенкой и жидкостью равной 1К.

может изменяться по поверхности, поэтому различают локальный или местный и средний по поверхности. Таким образом, связана с условиями движения жидкости – ламинарное и турбулентное течение (струйное и вихревое).

Турбулентность бывает естественной и искусственной.

При любом течении жидкости в тонком слое у поверхности из-за наличия вязкого трения течение жидкости затормаживается и скорость падает до нуля – это вязкий подслой.

При ламинарном течении перенос тепла в основном осуществляется теплопроводностью.

При турбулентном течении теплопроводность наблюдается в пограничном подслое, а в ядре потока – за счет массопереноса.

Интенсивность теплоотдачи в основном определяется термическим сопротивлением подслоя.

Следовательно в подслое по закону Фурье:

В общем случае является сложной функцией:

,

Где - форма, - размеры поверхности.

;

;

;

- температурный коэффициент объемного расширения.

Условия однозначности для процессов теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает целый класс явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей процесса. Эти особенности называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности включают:

- геометрические условия (форма, размеры);

- физические условия (физические свойства - , внутренний источник);

- временные или начальные условия (расширение температуры в теле ; t=f(x, y, z) или

t=t =const);

- граничные условия (взаимодействие тела с окружающей средой):

Граничные условия 1-го рода: - задается расширение температуры по поверхности или .

Граничные условия 2-го рода: задаются величины теплового потока для каждой точки поверхности тела:

или .

Граничные условия 3-го рода: задается температура окружающей среды - и закон теплообмена.

По закону сохранения энергии:

, т.е. .

Граничные условия 4-го рода характеризуют условия теплообмена с окружающей средой или системы тел при идеальном контакте , .

Из условия равенства тепловых потоков:

.

.

Таким образом, дифференциальное уравнение с условием однозначности дает полную математическую формулировку задачи.

Вопросы:

1. Движение дымовых газов в заводской трубе котельной –рассматривать как вынужденную или естественную конвекцию?

2. От чего зависит величина ?

3. Каков физический смысл ?

Лекция №4