Нерівність Чебишова і її наслідки

Розглянемо дві одномонотонні послідовності і . Для цих послідовностей запишемо n перерозміщувальних нерівностей:

1. ;

2. ;

3. ;

...............................................................................

n.

Додамо почленно усі n нерівностей і отримаємо нову нерівність . Ця нерівність називається нерівністю П.Л. Чебишова, який її довів і використав у своїх наукових працях.

Якщо розглядати протилежно монотонні послідовності, то у нерівності Чебишова треба змінити знак нерівності на протилежний. Отже, якщо і - протилежно монотонні послідовності, то має місце нерівність .

Приклад 11. Довести нерівність , де а, b, c – додатні дійсні числа.

Розв’язання. Розглянемо дві числові послідовності і . Це одномонотонні послідовності, тому запишемо для них нерівність Чебишова . Виконавши тотожні перетворення останньої нерівності, отримаємо нерівність, , яку треба було довести.

Приклад 12. Нехай - довільні дійсні числа. Довести, що .

Розв’язання. Запишемо нерівність Чебишова для двох одномонотонних послідовностей і і отримаємо нерівність , що треба було довести.

Приклад 13. Нехай - додатні дійсні числа. Довести, що .

Розв’язання. Розглянемо одномонотонні послідовності і . Запишемо для цих послідовностей нерівність Чебишова:

, або , звідки, помноживши обидві частини на -1, отримаємо вірну нерівність: .

Приклад 14. Нехай - додатні дійсні числа. Довести, що .

Розв’язання.

1. Виконаємо тотожні перетворення даної нерівності:

.

2. За нерівністю Чебишова маємо .

3. За нерівністю Чебишова запишемо таку нерівність