Математическая модель компенсации диабета

Эта глава адресована читателям, которые владеют не­обходимым математическим аппаратом, чтобы разобрать­ся с изложенными в ней соображениями. Хотя мы напи­шем не слишком много формул, однако будем комменти­ровать процесс компенсации диабета на математическом языке, дабы знающие и понимающие его могли лучше уяс­нить ситуацию.

Итак, в качестве эталона мы имеем здоровую поджелу­дочную железу — систему, автоматически и с высокой точ­ностью реагирующую на концентрацию глюкозы в крови и секретирующую необходимое количество инсулина. Соот­ветствующую кривую естественной суточной секреции ин­сулина обозначим F=F(t), где t — время, a F — содержание инсулина в крови. Пример функции F(t) дан на рисунке 8.2, график 1. Конкретный вид этой кривой зависит от двух факторов, изменяющих сахар крови: от физической на­грузки и поступления в организм углеводов (их количест­ва, времени их поступления и скорости всасывания). F(t) — эталонная функция, характеризующая здоровую поджелу­дочную железу.

Рассмотрим случай диабета I типа, когда естественная секреция инсулина отсутствует, и отбросим вначале фак­торы физической нагрузки и неоднозначности действия внешнего инсулина. Примем также некую идеальную мо­дель питания, когда человек, не испытывающий физичес­ких нагрузок (кроме самых необходимых и минимальных), ест в строго определенное время четыре или пять раз в сут­ки и за каждый прием пищи поглощает строго определен­ное количество углеводов. В этих идеализированных уcловиях мы имеем единственную переменную величину: набор искусственных инсулинов, каждый из которых ха­рактеризуется определенными функциями действия f(t0, t), где t0 — параметр, определяющий время введения инсули­на, at — текущее время. Примеры этих функций представ­лены на рисунке 8.2, на графиках 2—8, при t0=0. Набор данных функций, который мы обозначим Ф, конечен, но их имеется не пятьдесят разных видов, а гораздо больше: напомним еще раз, что с точки зрения математики функ­ции для одного и того же инсулина, введенного в разное время, подобны, но сдвинуты по оси времени (то есть с формальной точки зрения это разные функции). Сколько же их? Если считать, что инъекции инсулина разрешены только в дневные часы и могут делаться в любой из вре­менных точек с 8 утра до 23 вечера со скважностью один час, то каждая из приведенных на рисунке 8.2 функций (при t0=0, что соответствует 8 утра) порождает еще пятнад­цать, сдвинутых по оси t на один, два и так далее часа. Эта дискретизация, разумеется, условна, но позволяет оценить общее количество функций базиса — в данном случае их порядка восьмисот. Чтобы окончательно формализовать обозначение базисных функций, вынесем зависимость от параметра t0 из скобок и запишем Ф={fj(t)}.

Наша задача: с помощью двух-семи функций из набора Ф аппроксимировать эталонную функцию F(t):

где Cj — вес функции fj или иными словами, j доза соответ­ствующего инсулина

Напомним, что проблема аппроксимации некоей ре­альной функциональной зависимости с помощью набора базисных функций (обычно заданных математически) яв­ляется широко распространенной задачей, возникающей в науке и технике. Она решается с помощью метода на­именьших квадратов (МНК), с помощью которого можно определить весовые коэффициенты С. Стандартные бази­сы, которые используются в этом случае — степенной ряд и ряд Фурье — позволяют минимизировать отклонение между левой и правой частями написанного выше выраже­ния и добиться того, что эталонная функция F(t) с высо­кой точностью представляется с помощью суммы базис­ных функций, умноженных на весовые коэффициенты.

Но высокая точность достигается путем суммирования большого количества членов — то есть разложения F(t) с использованием большого количества базисных функций. В нашем случае это невозможно, так как нельзя делать де­сятки инъекций инсулина в день.

Итак, если в разложение для F(t) включены две функ­ции, то этот случай соответствует инсулинотерапии с дву­мя инъекциями пролонгированного инсулина утром и ве­чером; если включены семь функций, то этот случай соот­ветствует базис-болюсной терапии, когда утром и вечером делаются инъекции смешанным инсулином и в течение дня совершаются еще три подколки «коротким» инсули­ном. Формально, как уже отмечалось, задача сводится к определению коэффициентов Cj с помощью метода на­именьших квадратов и может быть легко решена.

Однако насколько хорошим будет такое решение? Мы могли бы вычислить отклонение между эталонной функ­цией и аппроксимирующей ее, но в этом нет необходимос­ти: мы сразу можем сказать, что в случае базис-болюсной терапии качество будет вполне приемлемым, а при двух инъекциях пролонгированного инсулина — более низким. Данный вывод следует из вида функций нашего базиса и вида F(t): эталонная функция содержит резкие пики и об­ласти плавного «фона», и ее никак нельзя удовлетворитель­но аппроксимировать парой функций с широкими горба­ми (см. рисунок 8.2, график 3).

Получается, что базис-болюсная терапия — наилуч­ший из выходов? Очень сомнительно! Напомним, что мы рассматривали задачу аппроксимации в идеализирован­ных условиях, а теперь нужно ввести реальные параметры: неоднозначность действия инсулина (зависимость от точки инъекции, температуры и прочих неясных обстоятельств); неизбежные ошибки в питании (ошибки в математичес­ком смысле — то есть разброс количества поглощенных уг­леводов и скоростей их всасывания); физические нагруз­ки, влияние которых невозможно учесть с достаточной точностью. Три указанных фактора в каждый момент вре­мени являются величинами неопределенными, но к тому же они действуют одновременно, и влияние их суперпози­ции — это, образно говоря, неопределенность в квадрате. Мы можем учесть их только эмпирически — и, разумеется, довольно грубо. Итак, каковы же выводы?

1. Мы в принципе не можем добиться стопроцентной компенсации диабета «ручным способом», поскольку эта задача сводится к попытке аппроксимации естественной (но уже не эталонной!) функции F(t), которая строго не определена и зависит от параметров, которые нам в точ­ности неизвестны — питания и физической нагрузки. Функции базиса, с помощью которых мы пытаемся при­близиться к F(t), тоже «плывут», они тоже строго не опре-, делены (неоднозначность действия внешнего инсулина). К тому же, по условиям задачи, мы не можем использовать много базисных функций — ведь каждый член в приведен­ном выше разложении означает укол шприцом.

2. Ввиду неясности ситуации, описанной в предыду­щем пункте, мы не можем качественно промоделировать своими силами, с помощью инсулина, диеты и режима, тонкий механизм функционирования поджелудочной же­лезы. Условно говоря, там, где нужен компьютер, мы кру­тим рукоять старинного арифмометра.

3. Но арифмометр тоже способен давать результаты — пусть не с такой скоростью и не с такой точностью, как со­временный компьютер. Мы не можем добиться идеальной компенсации диабета, но мы способны приблизиться к ней — не предельно близко, но все же на такое расстояние, когда риск из-за ошибок аппроксимации минимален — при существующем уровне медицины. Совершенно очевидно, что ошибки аппроксимации будут тем меньше, чем мень­ше влияние неопределенных и неучтенных факторов, ко­торыми мы в какой-то степени способны управлять — пи­тания и физических нагрузок. Если хотите, считайте дан­ный вывод математическим обоснованием необходимости диеты, режима и всех процедур контроля заболевания.

Сейчас дела обстоят именно так, но это не означает, что песня закончилась минорной нотой.