Условие b-стабильности

Лекция III

Основная идея настоящей лекции состоит в том, чтобы показать вам, что ядро и электронная оболочка являются двумя частями одной системы, которая называется: атом. Кажется совсем очевидным, что электронная оболочка существует только потому, что ядро создает сферический кулоновский потенциал, и что она не может существовать без ядра. Обратное утверждение не является столь же строгим, но, тем не менее, электронная оболочка оказывает заметное влияние на жизнь ядра.

Вопрос о формулировке условия b-стабильности ядер был поставлен практически на заре развития ядерной физики [1, 2]. Однако до середины прошлого века недостаточная точность и неполный объем экспериментальных данных по массам ядер изотопов не давал возможности полноценно проанализировать соответствие теоретических представлений и экспериментальных данных. Долгое время считалось, что поскольку масса ядра намного превышает массу электронной оболочки, то электронная оболочка никак не может влиять на устойчивость ядра. Так как в то время точность экспериментальных данных не всегда позволяла делать различие между разностью масс ядер и разностью масс атомов, то казалось, что условия “минимума массы ядра”, “минимума массы атома” и “максимума энергии связи ядра” в изобарных рядах совпадают, а отклонения от предполагаемого условия стабильности считались исключениями [1, 2]. Сейчас, благодаря доступным данным [3], стало возможным сформулировать и проверить точное условие стабильности ядер.

Рассмотрим стабильность ядра по отношению к процессам, идущих без изменения количества нуклонов в ядре, то есть за счет слабых взаимодействий, а именно электронного (b^-) или позитронного (b⁺) b-распада и K-захвата:

(1)

где и – электронные нейтрино и антинейтрино, X, Y – ядра с атомным весом A и зарядом Z (в единицах заряда электрона).

Хорошо известно [7, 8], что выделяемая (Q> 0) или поглощаемая (Q< 0) в ядерных реакциях (1) энергия может быть определена по разности масс исходных ядер и продуктов реакций:

, (2)

где M_N(A, Z) – масса ядра , m_e – масса покоя электрона; знак “ – ” соответствует b^±-распаду (Q₁ и Q₂), а “+” K-захвату (Q₃). Так как K-захват всегда энергетически выгоднее позитронного b⁺-распада (Q₃ – Q₂ =2× m_e) возможность позитронного b⁺-распада не меняет условие стабильности ядра. Таким образом, если нам удастся сформулировать условие стабильности по отношению K-захвата, то оно автоматически будет выполняться для b⁺-распада. По определению энергии связи ядра W_N:

, (3)

где m_p и m_n – массы покоя протона и нейтрона. Энергия связи W_N – это энергия, которую необходимо вложить для разделения ядра на составляющие его нуклоны.

Выражение (2) справедливо в том случае, когда у ядра отсутствуют электронные оболочки. При распаде ядра, находящегося в нейтральном атоме, следует учесть энергию связи электронов. При захвате орбитального электрона атом остается нейтральным, а при b^±-распаде образуется однозарядный ион Y^± (положительный при электронном b^--распаде и отрицательный при позитронном). Однако, так как первый потенциал ионизации не превышает 25 эВ (максимальный для He – 24.58 эВ) этой величиной всегда можно пренебречь по сравнению с точностью измерения энергии связи ядра (~1кэВ). В этом приближении из (2), как правильно указано в [7, 8], для распада нейтрального атома, выделяемая энергия при K-захвате и электронном b^--распаде равна:

, (4)

где

(5)

масса атома, W – энергия связи ядра в атоме с учетом энергии полной ионизации атома I(Z):

, (6)

то есть энергия, необходимая для разделения нейтрального атома на составляющие его протоны, нейтроны и электроны. С точностью до Z× I_H (I_H=13.6 эВ – потенциал ионизации водорода), которая для Z< 100 не хуже точности измерения энергии связи ядра, определенная таким образом энергия совпадает с энергией, необходимой для разделения ядра на нейтроны и атомы водорода:

, (7)

где M_H – масса атома водорода. Исторически энергия связи ядра вводилась для расчетов энергий, выделяющихся в ядерных реакциях с участием нейтральных атомов, поэтому в таблицах [29] приводятся именно атомные энергии W (7), включающие полную энергию ионизации I (Z), а не ядерные W_N. Для определения массы атома пользуются также дефектом массы D M, связанным с M_A соотношением [29]:

(8)

где m_a.e.m.» 931.5 МэВ – атомная единица массы; для дефекта массы выбрана нормировка D M (¹²C) = 0.

Хорошо известно, что достаточным условием b-стабильности ядра является энергетический запрет всех возможных каналов распада; то есть реакции (1) должны быть эндотермические (q < 0). Рассматриваемые процессы e -захвата и b^±-распада осуществляют превращение ядра с сохранением количества нуклонов, то есть перемещение по изобарному ряду (A = const). Следовательно, из (4), (5), достаточным условием b-стабильности ядра в нейтральном атоме является реализация минимума массы атома M_A (A, Z) (равносильно минимуму дефекта массы D M (A, Z)), включая все локальные минимумы, в изобарном ряду (A = const).

Обратим внимание на то, что речь идет именно о минимуме массы атома M_A (Z), а не минимуме массы ядра M_N (Z) и не о максимуме энергии связи W (Z). Из (5)–(7) получаем, что функции M_A (Z), M_N (Z) и W (Z) связаны следующим образом:

(9)

где кэВ. Так как функции M_N (Z) и W (Z) отличаются на изобарных рядах (A = const) от M_A (Z) прибавлением монотонных по Z членов (9), то качественно эти три функции (M_A, M_N, W) имеют один и тот же вид, но минимумы M_N (Z) могут переместиться в сторону больших Z, а максимумы энергии связи W (Z) могут переместиться в сторону меньших Z по отношению к минимумам функции M_A (Z) (последние совпадают с минимумами D M (Z)).

Для описания качественной зависимости энергии связи от заряда ядра в изобарном ряду можно воспользоваться хорошо известной полуэмпирической формулой Вейцзеккера; с учетом (9) для массы атома можно записать:

(10)

где a_V = 15, 75 МэВ, a_S = 17, 8 МэВ, a _C = 0, 71 МэВ, a _SYM = 94, 8 МэВ, a_P = 34 МэВ – соответственно коэффициенты энергии ядра: объемной, поверхностной, кулоновской, симметрии и спаривания. Коэффициент d ответственен за эффект спаривания: d = 0 для ядер с нечетным A, d = 1 для четно-четных ядер (четное количество нейтронов и четное количество протонов), d = –1 для нечетно-нечетных ядер; степень P в последнем члене (спаривания) различные авторы принимают равным от 1/3 до 1.

Напомним хорошо известный факт, следующий из формулы Вейцзеккера (10): на изобарных рядах нечетных A графиком зависимости M_A (Z) является парабола с одним минимумом (d = 0) (рис. 1 а), а на изобарных рядах четных A – график M_A (Z) представляет собой ломаную линию, заключенную между двумя параболами, соответствующим четным Z (d > 0) и нечетным Z (d < 0) (рис. 1 б, в). В последнем случае функция M_A (Z) может реализовывать (в зависимости от A) один, два или три минимума. На рис. 1 б изображен случай, когда при четном A минимум параболы соответствует четному Z, а рис. 1 в соответствует случаю минимума параболы на нечетном Z.

Рис. 1. Зависимость массы атома от заряда.
Z ₀ – минимум параболы. а – при нечетном атомном весе A,
б – при четном A и четном Z ₀, в – при четном A и нечетном Z ₀.

Несложный анализ базы данных [29] показывает, что все без исключения стабильные изотопы реализуют минимумы массы атомов M_A (Z) в соответствующих изобарных рядах. Более того, анализ показал, что в природе реализуются все процессы b^±-распада и e -захвата, разрешенные энергетически(никаких других запретов нет). То есть справедливо следующее утверждение:

· Для b-стабильности ядра нейтрального атома (устойчивости по отношению к однократным процессам b^±-распада и e -захвата) необходимо и достаточно чтобы данный изотоп реализовывал минимум массы атома в изобарном ряду (A = const).

Табл. 1. Природные нестабильные изотопы

Заметим, что 12 встречающихся в природе изотопов, которые не реализуют минимум M_A (Z) являются хотя и долгоживущими, но нестабильными (табл. 1); напротив, в природе не встречаются b-стабильные изотопы с атомными массами 5 и 8, так как они нестабильны по отношению к распадам: ⁵He ® ⁴He + n, ⁸Be ® 2 ⁴He. Для атомных весов A > 141 энергетически становится возможным a-распад, который для некоторых изотопов с атомными весами из интервала 210 > A > 141 оказывается запрещенным, но все изотопы с A > 209 a-активны. Особо следует отметить встречающийся в природе изотоп ^{180 m} Ta, являющийся долгоживущим (1, 2´ 10¹⁵ лет) изомерным возбужденным состоянием ядра. Столь большой период полураспада объясняется большой разностью спинов изомерного (9^–) и основного (1⁺) состояний.

Для определения связи между массой ядра A стабильных изотопов и зарядом Z, найдем минимум массы атома M_A (Z) в изобарном ряду. Энергия ионизации I (Z) является малой величиной даже по сравнению с малым членом Zm_e, который отличает M_A от M_N (9). Энергию ионизации I (Z) можно учесть, пользуясь приближением модели Томаса–Ферми, но это будет превышением точности, так как кулоновский член формулы Вейцзеккера имеет меньшую точность. Аналогично [20, 21] представим (10) в виде:

(11)

где:

(12)

Так как Z может принимать только целые значения, то минимум M_A (Z) будет достигаться на ближайшем целом к Z ₀, определенным в (12). Это легко видеть из того, что парабола (11) симметрична относительно Z = Z ₀. Рисунок 2 б соответствует случаю, когда при четном A значение Z ₀ ближе к четному Z, а рис. 2 в соответствует случаю, когда при четном A значение Z ₀ ближе к нечетному Z.

Минимум массы ядра M_N достигается при условии, аналогичном (12), но с заменой

.

(13)

Казалось бы, что, так как m_e < < a _SYM= 94, 8 МэВ, различием (13) между условиями минимумов функций M_A и M_N можно пренебречь, однако в тех случаях, когда Z ₀ оказывается близким к полуцелым значениям, даже такое малое изменение как m_e / a _SYM ~ 5´ 10^–3 может изменить ближайшее целое к Z ₀ на единицу.

Действительно, анализ базы данных [29] показывает некорректность предположения о том, что минимум массы ядра M_N (Z) является достаточным условием b-стабильности нейтрального атома. Так, например, более 30 изотопов, реализующих минимум массы ядра M_N (Z) на изобарных рядах, нестабильны по отношению к e -захвату (табл. 2, T _1/2 – период полураспада; q ± D q – граничная энергия распада, кэВ; D M – глубина минимума массы ядра в изобарном ряду, кэВ). В качестве характерного примера можно привести следующий: минимум массы атома для изобарного ряда с атомным весом 55 достигается на единственном стабильном изотопе марганца ⁵⁵Mn, а минимум массы ядра достигается на нестабильном изотопе ⁵⁵Fe (период распада 2.7 года). Ядро ⁵⁵Mn тяжелее ядра ⁵⁵Fe: M_N (⁵⁵Mn) – M_N (⁵⁵Fe)» 280 кэВ, а атом ⁵⁵Mn легче атома ⁵⁵Fe: M_A (⁵⁵Fe) – M_A (⁵⁵Mn)» 231 кэВ.

Табл. 2. Нестабильные по отношению к e -захвату изотопы, реализующие минимум массы ядра в изобарном ряду

Аналогично, ошибочно предположение об условии b-стабильности, как максимуме энергии связи ядра: 60 изотопов, реализующих максимум энергии связи, являются b^–-активными (табл. 3, D W – высота максимума энергии связи ядра в изобарном ряду, кэВ).

Табл. 3. Нестабильные по отношению к b^–-распаду изотопы, реализующие максимум энергии связи в изобарном ряду

Обратим внимание на то, что «истинно» b-стабильными являются изотопы, реализующие абсолютные минимумы массы атома M_A в изобарном ряду, так как изотопы, реализующие локальные минимумы могут распадаться в абсолютный минимум за счет двойного b^±-распада или двойного e -захвата (рис. 2 б). Конечно, вероятность таких процессов мала, но не равна нулю. Так, например двойной b^–-распад зарегистрирован для ⁸²Se (10²⁰ лет), ¹⁰⁰Mo (10¹⁹ лет), ¹²⁸Te (2, 2´ 10²⁴ лет) и ¹⁵⁰Nd (> 10¹⁹ лет) и др. Для указанных изотопов одинарные b^–-распады энергетически запрещены. Эта ситуация отличается от двойного b^–-распада ⁹⁶Zr, который неустойчив и по отношению к одинарному b^–-распаду (⁹⁶Zr ® ⁹⁶Nb ® ⁹⁶Mo).

Мы рассмотрели вопрос об условии стабильности ядра нейтрального атома. Известно, что деформация электронных оболочек атома приводит к изменению периодов b^±-распада ядра.