Решение. Как было найдено в предыдущем примере, данное число в тригонометрической форме имеет вид По первой формуле Муавра получаем:

Рисунок

Как было найдено в предыдущем примере, данное число в тригонометрической форме имеет вид По первой формуле Муавра получаем:

Ответ.

Число z называется корнем степени из комплексного числа w, если Корень степени обозначается Пусть теперь число w фиксировано. Найдём z из уравнения

Если w = 0, то у уравнения существует единственное решение z = 0.

Если w ≠ 0, то положим, что нам известно тригонометрическое представление числа w = r ₀(cos φ ₀ + i sin φ ₀), и будем искать число z также в тригонометрической форме: z = r (cos φ + i sin φ). Из определения аргумента и геометрической интерпретации комплексных чисел следует, что два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на угол, кратный 2π. Имеем:

откуда получается:

Итак, все решения уравнения задаются формулой

Заметим, что если в эту формулу подставлять натуральные числа k, то при k = 0, 1,..., n мы будем получать разные комплексные числа, а при k = n имеем:

Значит, и в дальнейшем значения корней будут повторяться. Следовательно, существует ровно n корней уравнения и все они задаются одной формулой.

Вторая формула Муавра:

Пример

Найти