Приклад 1. Сила струму в коливальному контурі змінюється за законом

Сила струму в коливальному контурі змінюється за законом . Індуктивність котушки контуру , опором провідників знехтувати.Визначити: 1) період коливань ; 2) ємність контуру С; 3) максимальне значення різниці потенціалів між обкладками конденсатора; 4) максимальне значення енергії магнітного поля; 5) максимальне значення енергії електричного поля; 6) повний максимальний магнітний потік.

Дано:

Розв’язування

Оскільки контур складається з ємності та індуктивності, то в ньому відбуватимуться незатухаючі електричні коливання.

Період власних коливань контуру визначимо за формулою Томсона:

.

Із заданого рівняння сили струму в контурі видно, що циклічна частота власних коливань виглядатиме так:

.

Між періодом і циклічною частотою власних коливань існує такий зв’язок:

.

1. Електроємність контуру знайдемо за формулою циклічної частоти власних коливань:

,

звідки

.

Підставивши числові значення, обчислимо:

.

2. Зв’язок різниці потенціалів між обкладками конденсатора і зарядом на обкладці описує формула:

.

Закон зміни заряду на обкладках конденсатора знайдемо із закону зміни сили струму:

.

Проінтегруємо рівняння за часом

.

Звідси випливає, що максимальне значення заряду на обкладці конденсатора

.

Підставимо це значення у формулу для напруги й одержимо:

.

Максимальне значення енергії магнітного поля коливального контуру буде при максимальній силі струму в контурі:

.

З рівняння сили струму бачимо, що , отже:

.

Максимальне значення енергії електричного поля дорівнює енергії, яку має заряджений конденсатор, коли заряд на його обкладці максимальний:

.

Отже, для випадку вільних незатухаючих електричних коливань максимальне значення енергії електричного поля дорівнює максимальному значенню енергії магнітного поля, що й випливає із закону збереження енергії. Повна енергія контуру залишається незмінною. Під час електричних коливань відбувається лише безперервний перехід електричної енергії, зосередженої в електричному полі конденсатора, в магнітну, зосереджену в магнітному полі котушки, і навпаки. Це є наслідком того, що в контурі відбувається безперервний процес перетворення електричного поля на магнітне і навпаки.

3. Повний максимальний магнітний потік спостерігається тоді, коли в контурі буде максимальна сила струму:

.

Відповідь: ; ; ; ; Дж; .