Динаміка твердого тіла

1. Основне рівняння динаміки обертального руху відносно нерухомої осі:

,

де – результуючий момент всіх діючих сил;

– вектор моменту імпульсу тіла.

Вектор моменту імпульсу тіла дорівнює:

,

де r – радіус-вектор;

mυ – імпульс тіла.

У випадку постійного моменту інерції:

,

де – кутове прискорення;

І – момент інерції тіла (міра інертності тіла при обертальному русі).

2. Момент імпульсу тіла, що обертається відносно осі

.

3. Момент сили F, що діє на тіло відносно осі обертання:

,

де l – плече сили – найкоротша відстань від осі обертання до лінії дії сили.

4. Момент інерції матеріальної точки відносно нерухомої осі обертання:

,

де m – маса матеріальної точки;

r – відстань від положення матеріальної точки до осі обертання.

5. Момент інерції довільного твердого тіла:

де r_i – відстань елемента маси ∆ m_i від осі обертання.

Це ж співвідношення в інтегральній формі (для тіл правильної геометричної форми):

.

Якщо тіло однорідне, тобто його густина ρ однакова по всьому об’єму, то

і ,

де V – об’єм тіла.

6. Теорема Штейнера. Момент інерції твердого тіла або матеріальної точки відносно довільної осі обертання, але обов’язково паралельній до осі, що проходить через центр мас тіла, дорівнює:

,

де І₀ – момент інерції цього тіла відносно осі, що проходить через центр мас тіла;

a – відстань між паралельними осями;

m – маса тіла.

7. Закон збереження моменту імпульсу:

.

Для двох взаємодіючих тіл закон збереження моменту імпульсу записується так:

,

де І₁, І₂ , ₁, ₂ – моменти інерції і кутові швидкості тіл до взаємодії;

, , , – ті самі величини після взаємодії.

Закон збереження моменту імпульсу для одного тіла із змінним моментом інерції:

де І₁і І₂ – початковий і кінцевий моменти інерції;

і – початкова і кінцева кутові швидкості тіла.

8. Робота постійного моменту сили М, що діє на тіло, яке здійснює обертання:

де – кут повороту тіла.

9. Миттєва потужність, яка розвивається при обертанні тіла:

.

10. Кінетична енергія тіла, яке здійснює обертальний рух

11. Кінетична енергія тіла, яке котиться без ковзання вздовж будь-якої площини:

де – кінетична енергія поступального руху центра мас тіла;

– швидкість руху центра інерції тіла;

– кінетична енергія обертального руху тіла навколо осі, що проходить через центр інерції.

12. Зв’язок між роботою, яка виконується при обертанні тіла і зміною кінетичної енергії:

.