Приклад 3. Тіло обертається навколо нерухомої осі

Тіло обертається навколо нерухомої осі. Залежність кута повороту тіла від часу задана рівнянням , де , . Знайти модуль повного прискорення точки , розміщеної на відстані від осі обертання, в момент часу .

Дано:

Розв’язування

Повне прискорення точки , яка рухається по кривій лінії, можна знайти як геометричну суму тангенціального прискорення , направленого по дотичній до траєкторії, та нормального прискорення , направленого до центра кривизни траєкторії:

(1)

Оскільки вектори взаємно перпендикулярні, то модуль повного прискорення: . (2)

Тангенціальне та нормальне прискорення точки тіла, що обертається, виражаються за формулами:

, ,

де ­­ кутове прискорення тіла; – кутова швидкість тіла.

Замінимо у формулі (2) і на відповідні вирази. Тоді знайдемо:

. (3)

Кутову швидкість обчислюємо за першою похідною від кута повороту за часом :

.

Кутове прискорення знаходимо, взявши першу похідну від кутової швидкості за часом :

.

Кутове прискорення заданого руху є сталим, тобто не залежить від часу. Підставимо значення і та задане значення у формулу (3):

,

.

Відповідь: 1, 65 м/с².