Свойства операций над матрицами

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

λ (A+B)=λ A+λ B

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ (AB)=(λ A)B=A(λ B)

A(BC)=(AB)C

(A')'=A

(λ A)'=λ (A)'

(A+B)'=A'+B'

(AB)'=B'A'

5.Рангом матрицы называют количество линейно независимых столбцов матрицы (столбцовый ранг матрицы) или количество линейно независимых строк матрицы (строчный ранг матрицы). Этому определению эквивалентно определение ранга матрицы как порядка максимального отличного от нуля минора матрицы.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

6. определитель второго порядка вычисляется по следующей формуле:

7. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на её главной диагонали

8 минором элемента aij называется определитель получаемый из данной матрицы вычеркиванием i-строки и j-столбца

9 Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A называется число Aij = (− 1)i + jMij, где Mij — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из A вычёркиванием i -й строки и j -го столбца.

10. Невырожденная матрица (иначе неособенная матрица) ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

Для квадратной матрицы M над полем невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

· M обратима, то есть существует обратная матрица;

· строки (столбцы) матрицы M линейно независимы;

· ранг матрицы равен её размерности.

11 Обратная матрица A− 1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E

12. Обра́ тная ма́ трица — такая матрица A^{− 1}, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

13 Ур: А*Х=В Реш: Х=А^-1*В

Х*А=В Х=В* А^-1

А*Х*В=С Х= А^-1*С*В^-1

14 Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получена из другой путем конечного числа и элементарных преобразований

15. Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц, то есть, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

16 СЛАУ- система линейных алгебраических уравнений

17 несовместная- не имеющая решения

18 неопределенная- имеющая множество решений

19-совместная-имеющая решение

20-определенная-одно решение

21-расширенная- Матрица, полученная из основной матрицы, дописыванием справа столбца свободных членов

22 Гаусс-привести к степенчатому виду и определить есть ли решение
1.ранг А=ранг В есть решение

ранг А=ранг В=n одно ранг А=ранг В< n много

2. ранг А/=ранг В нет решений

23 условие: 1.число ура=числу неизве

2.определитель не равен 0

Х1=1й определитель/глав.определитель

Х2=2й опреде/глав.опре

24 1) Сложение/вычитание векторов.

2)Умножение вектора на число.

3)скалярное произведение

25. Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Длина вектора |a| в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

26 Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами

Усл: 1) Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что a = n · b 2) Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.3) Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

27. Скаля́ рное произведе́ ние (иногда внутреннее произведение) — операция над двумя векторами, результатом которой является число [когда рассматриваются векторы, числа часто называют скалярами], не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

28.

29. Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.

30 вектора перепендикулярны, если скал.произве=0

31 Под системой векторов понимают несколько векторов, принадлежащих одному и тому же пространству R.

32 Линейная комбинация - это сумма векторов, умноженных на некоторые числа. Эти векторы могут иметь разное направление.

33 Система векторов A₁, A₂,..., A_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ _1, λ ₂,..., λ _n, при котором линейная комбинация векторов λ ₁*A₁+λ ₂*A₂+...+λ _n*A_n равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n=Θ имеет ненулевое решение.
Набор чисел λ _1, λ ₂,..., λ _n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ _1, λ ₂,..., λ _n отлично от нуля.

34 Система векторов A₁, A₂,..., A_n называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов λ ₁*A₁+λ ₂*A₂+...+λ _n*A_n равна нулевому вектору только при нулевом наборе чиселλ _1, λ ₂,..., λ _n, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n=Θ имеет единственное нулевое решение.

35 1) Система состоящая из одного не равного 0 вектора ЛПЗ если вектор равен 0, то ЛЗ 2) Система, состоящая из двух векторов ЛЗ, если два вектора параллельны и колинеарны 3)Система, состоящая более чем из одного вектора ЛЗ, если один из них явл. Линейной комбинацией других 4)Если часть системы ЛЗ, то и остальные ЛЗ 5)Если система ЛНЗ, то любая часть ЛНЗ 6) Если система векторов ЛНЗ, а при прибавлении одного ЛЗ, то этот вектор явл. Линейной комбинацией остальных 7)В пространстве R^n система векторов состоящая из m-векторов m> n явл.ЛЗ

36 Векторное пространство- множество векторов с действительными компонентами, в котором определены комбинации сложение векторов и умножение вектора на число, удовлетворяющее 8 аксиомам

37 Базис- совокупность n ЛНЗ векторов Rn пространства

38 Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляютсяаббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в котором являетсялинейным — алгебраическим уравнением первой степени.

Любая совокупность n− r линейно независимых решений однородной СЛАУ называется фундаментальной системой (или совокупностью) решений данной СЛАУ.

39 Оператор A, действующий в линейных пространствахX, Yназывается линейным оператором, если

A(u+v)=A(u) +A(v) иA(α u)=A(α u) для любыхu, vпринадлежащихXи для любого числа α.

Если пространства XиYсовпадают, то говорят, что оператор действует в пространствеX.

40 Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f, A = { a_ij } = { A (e _j) _i }:

41 Л называется собственным числом матрицы А, если существует вектор не равный 0, что выполняется равенство А*х=Л*х

Х называется собственным вектором матрицы А, отвечающий данному собственному числу Л А*х-Л*х=0 (А-Л*Е)*х=0

42 . (2.4.7)

Уравнение (2.4.7) называется характеристическим уравнением. Левая часть уравнения называется характеристическим многочленом матрицы . По основной теореме алгебры он имеет корней (с учетом кратностей).

43 Образом оператора называется множество всех векторовyтаких, что у=Ax, xX. (ImA)

44 Ядром ЛОA называется мн-во всех элементов Х пространстваV для которыхA=0 (kerA)

45 Размерность подпространства ImA называетсярангомоператораA (RangA=dim(ImA))

46 матрица перехода от старого базиса к новому это матрица состоящая из собственных векторов

47 Евклидово пространство– это линейное пространство с некоторым образом введенной операцией «скалярного произведения».

48 Квадратичная форма-однородный многочлен второй степени относительно переменных х1 и х2. Квадратичная форма от переменных будет вполне определена, если заданы ее коэффициенты , которые составляют матрицу . Матрица называется матрицей квадратичной формы. Она всегда является симметричной.

49. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0

C = 0, А ≠ 0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

А = 0, В ≠ 0, С ≠ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

В = С = 0, А ≠ 0 – прямая совпадает с осью Оу

А = С = 0, В ≠ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентомk

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠ 0, то, разделив на –С, получим: или , где Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

50 Угол между прямыми на плоскости

Определение. Если заданы две прямые y = k₁ x + b₁, y = k ₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как Две прямые параллельны, если k₁ = k₂. Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/ k₂. Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А ₁ х + В₁ у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = λ А, В₁ = λ В. Если еще и С₁ = λ С, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

51 Условия параллельности: а) Если прямые заданы этими уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k1 = k2.б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.Условия перпендикулярности двух прямых: а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства k1k2 +b1b2 = 0.Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = А, В1 = В. Если еще и С1 = С, то прямые совпадают.Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

52 Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(Mx, My) до прямой можно найти, используя следующую формулу

53 Общим уравнением плоскости в пространстве называется уравнение видаAx + By + Cz + D = 0, где A2 + B2 + C2 ≠ 0.В трехмерном пространстве в декартовой системе координат любая плоскость описывается уравнением 1–ой степени (линейным уравнением). И обратно, любое линейное уравнение определяет плоскость.

54 параметрическое

55. каноническое

56 Если заданы координаты трех точек A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) и C(x₃, y₃, z₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле

57 Пусть две прямые и заданы общими уравнениями и .Так как нормальным вектором прямой является вектор , а нормальным вектором прямой является вектор , то задача об определении угла между прямыми и сводится к определению угла между векторами и .Из определения скалярного произведения и из выражения в координатах длин векторов и и их скалярного произведения получим

58 Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному нормальными векторами этих плоскостей. Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми l1 и l2, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения плоскостей.

59 Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L s = {l; m; n} и уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу

sin φ = (| A · l + B · m + C · n)|/(√ A2 + B2 + C2 · √ l2 + m2 + n2)

60 Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

61 Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α 1и α 2параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит.

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны: или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны,

62 Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. . Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.

63 Расстояние от точки до плоскости находим по следующей формуле: d= , где - длина вектора нормали N={A; B: C} плоскости α, а число есть результат подстановки координат точки M₁(x₁; y₁; z₁) в левую часть общего уравнения плоскости.

64 Параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку M0 (x0, y0, z0) и два неколлинеарных вектора, заданных относительно прямоугольной декартовой системы координат a={a1, a2, a3}, b={b1, b2, b3}, определяются следующими формулами: |x=x0+u•a1+v•b1 {y=y0+u•a2+v•b2 |z=z0+u•a3+v•b3

65 Гиперплоскостью в пространстве называется множество вида
, здесь некоторый фиксированный вектор, авектор пробегает линейное подпространство в размерности .Если – базис , то гиперплоскость может быть записана в параметрической форме: , где числа - параметры точки

66 Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей.

67 Алгебраической формой комплексного числа называется запись комплексного числа z в виде z=x+iy, где x и y – действительные числа, i – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению i^{2}=-1.

Число x называется действительной частью комплексного числа z и имеет обозначение x = Re z.

Число y называется мнимой частью комплексного числа z и имеет обозначение y =Im z.

68 действия: 1)Умножение на число 2)сложение/вычитание z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2). 3)произведение чисел z2 =(x1 x2- у1 у2)+i(x1 y2+y1x 2). 4)деление 5)умножение на сопряженное

Сопряженное комплексное число-необходимо поменять знак перед мнимой единицей.

69 Их изображение на комплексной плоскости. Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой М(х; у) плоскости ОXY такой, что х=Rez, у=Imz. И, наоборот, каждую точку М(х; у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=х+iy

70 Аргументом комплексного числа называется угол Ф на который нужно повернуть ось Ох против часовой стрелки до совпадения с вектором

ОМ

от 0 до 2П

Модуль комплексного числа- расстояние от начала координат до точки М, изображающей комплексное число

71 Линия 2-го порядка – это плоская линия, декартовы прямоугольные координаты которой удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени, т. е. уравнению вида
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, назы­ваемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

F(-с; y-центра)
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из ко­торых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через р (р > 0)

1. В уравнение (8) переменная у входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью сим­метрии параболы.
2. Так как р > 0, то из (8) следует, что х 0. Следовательно, парабола расположена справа от оси Оу. 3. При х = 0 имеем у = 0. Следователь­но, парабола проходит через начало коор­динат.4. При неограниченном возрастании х модуль у также неограниченно возраста­ет. Парабола у ²= 2рх имеет вид (фор­му), изображенный на рисунке 8. Точ­ка 0(0, 0) называется вершиной параболы, отрезок FM = r называется фокальным радиусом точки М.

Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).