Следствия

Вторым замечательным пределом называется равенство

, где

е-иррациональное число.

В случае второго замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность .

Доказательство для натуральных значений.

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.

Следствия

1.

2.

3.

4.

5. для ,

6.

№5:»Непрерывность функции, точки разрыва, их классификация».

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Функция называется непрерывной в точке , если:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

Замечание:

При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

Пример

Задание. Вычислить предел

Решение.

Ответ.

Точки разрыва функции и их классификация: