Устойчивость стержней с иными видами закрепления

Рассмотрим задачи о продольном изгибе сжатых стержней с иными видами закрепления их краёв. На рис. 9.17 представлены различные случаи закрепления краёв стержня. Случаи а) и б) уже рассмотрены нами в 9.4. Обратимся к другим случаям на рис. 9.17:

а) Колонна с защемлённым нижним и свободным верхним краями (рис. 9.17, в). Пусть при стержень жёстко защемлён, а при - свободен от закрепления.

Граничные условия имеют вид

при

при (9.39)

Удовлетворяя решение (9.29) граничным условиям (9.39) получим:

откуда находим

Это условие может быть выполнено, если Мы получим

Рис. 9.17

В этом случае стержень остаётся в исходном прямолинейном состоянии равновесия, т.е. устойчив. Если то это приводит к значениям . Критическая сила с учётом равна:

.

Её наименьшее значение отвечает , т.е.

. (9.40)

Уравнение изогнутой оси стержня при найденных значениях постоянных :

Сравнивая (9.40) с (9.33) находим

Эту задачу можно решить несколько иначе, воспользовавшись решением (9.28) уравнения (9.26) второго порядка. Для рассматриваемой задачи где - прогиб незакреплённого края при Тогда, согласно (9.28), имеем:

Удовлетворяя это решение граничным условиям:

,

получаем

,

откуда следует: Это условие удовлетворяется, если положить

Тогда

Следовательно, оба решения приводят к одной критической силе Эйлера (9.40).

б) Стержень с шарнирно опёртым и жёстко защемлённым краями. В этом случае граничные условия имеют вид

(9.41)

Подстановка общего решения (9.29) в (9.41) приводит к системе уравнений:

откуда находим а также систему двух уравнений:

Приравнивая к нулю определитель этой системы, находим уравнение

откуда получаем его наименьший корень: (рис. 9.18).

Рис. 9.18

С учётом находим критическое значение силы Эйлера:

. (9.42)

Сравнивая (9.42) с (9.33), получаем . Уравнение изогнутой оси имеет вид:

в) Сжатый стержень с двумя жёстко защемлёнными краями

Граничные условия имеют вид:

. (9.43)

Удовлетворяя решение (9.29) граничным условиям (9.43), получим систему уравнений:

откуда находим: и систему двух уравнений:

Приравнивая к нулю определитель этой системы двух уравнений, получим соотношение:

, которое будет выполнено, если

либо .

Первое приводит к и критической силе Эйлера при :

(9.44)

Второе условие приводит к наименьшему значению и критической силе Эйлера:

большей, чем значение, которое даёт формула (9.44). Таким образом, наименьшей критической силой для жёстко защемлённого по обоим концам стержня является (9.44), для которой . Уравнение изогнутой оси в этом случае описывается уравнением:

г) Влияние упругого защемления на устойчивость сжатой колонны.

Рассмотрим сжатую стойку (колонну), нижний конец которой при упруго защемлён (рис. 9.19). Мысленно рассечём узел и заменим упругую связь пружиной. Граничные условиями задачи будут:

Поскольку момент m заранее неизвестен, то следует дополнить условие совместности деформирования стержня и балки в узле при . Это дополнительное граничное условие имеет вид

,

где угол найден из решения задачи об изгибе балки с помощью формулы Мора.

а) б)

Рис. 9.19

Удовлетворяя теперь решение (9.24) граничным условиям, находим:

Решая полученную систему уравнений, находим:

,

откуда следует:

.

Если стержень жёстко защемлён при z = 0, то

что с учётом

приводит к выражению критической силы Эйлера:

Пусть Тогда и наименьшее значение корня этого трансцендентного уравнения С учётом получаем выражение критической силы для упругозащемлённого стержня при частных соотношениях геометрических параметров:

что в 1, 74 раза меньше критической нагрузки при жёстком защемлении. Таким образом, упругое защемление концов стержня снижает критическое значение сжимающей силы.

На практике, однако, почти никогда не встречаются в чистом виде те закрепления концов стержня, которые мы имеем на наших расчетных схемах.

Вместо шаровых опор обычно применяются цилиндрические шарниры. Подобные стержни следует считать шарнирно-опертыми при выпучивании их в плоскости, перпендикулярной к оси шарниров; при искривлении же в плоскости этих осей концы стержней следует считать защемленными (с учетом оговорок, приведенных ниже для защемленных концов).

В конструкциях очень часто встречаются сжатые стержни, концы которых приклепаны или приварены к другим элементам, часто еще с добавлением в месте прикрепления фасонных листов. Такое закрепление, однако, трудно считать защемлением, так как части конструкции, к которым прикреплены эти стержни, не являются абсолютно жесткими.

Между тем, достаточно возможности уже небольшого поворота опорного сечения в защемлении, чтобы оно оказалось в условиях, очень близких к шарнирному опиранию. Поэтому на практике недопустимо рассчитывать такие стержни, как стойки с абсолютно защемленными концами. Лишь в тех случаях, Когда имеет место очень надежное защемление концов, допускается небольшое (процентов на 10—20) уменьшение свободной длины стержня.

Наконец, на практике встречаются стержни, опирающиеся на соседние элементы по всей плоскости опорных поперечных сечений. Сюда относятся деревянные стойки, отдельно стоящие металлические колонны, притянутые болтами к фундаменту, и т. д. При тщательном конструировании опорного башмака и соединения его с фундаментом можно считать эти стержни имеющими защемленный конец. Сюда же относятся мощные колонны с цилиндрическим шарниром при расчете их на выпучивание в плоскости оси шарнира. Обычно же трудно рассчитывать на надежное и равномерное прилегание плоского концевого сечения сжатого стержня к опоре. Поэтому грузоподъемность таких стоек обычно мало превышает грузоподъемность стержней с шарнирно-опертыми концами.

Значения критических нагрузок могут быть получены в виде формул типа эйлеровой и для стержней переменного сечения, а также при действии нескольких сжимающих сил.