Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Запасом устойчивости по модулю называется величина
|
|
(3.25)
где А(wp)- значение АФЧХ при частоте w=wp, при которой она пересекает вещественную ось.
Для всех систем должны выполняться требования:
Так как АФЧХ графически строится в определенном масштабе, то для вычисления запаса устойчивости по модулю можно просто измерить длины отрезков, соответствующих единице и ОВ, и разделить результат первого измерения на второй. Если увеличивать коэффициент усиления системы, то точка В будет смещаться влево и при ОВ=-1 коэффициент усиления примет критическое значение. Поэтому запас устойчивости по модулю можно определить и по формуле
Пример. Используя критерий Найквиста оценить устойчивость замкнутой системы стабилизации угла тангажа и определить ее запасы устойчивости.
Передаточная функция разомкнутой системы была получена ранее и имеет вид
Численные значения коэффициентов заданы или вычислены ранее. Сделаем замену s=jw:
После преобразований получим
Изменяя частоту от 0 до ¥ построим кривую АФЧХ - рис. 3.13. Проведя дугу окружности единичного радиуса, определим, что запас устойчивости по фазе g=1100. Для рассматриваемого примера получим, что h =3.3.
Рис. 3.13. АФЧХ системы стабилизации угла тангажа
Полученные запасы устойчивости удовлетворяют выше указанным требованиям.
3.4.5. Оценка устойчивости по ЛЧХ
АФЧХ разомкнутой системы подразделяются на два типа:
1) АФЧХ первого рода, все точки, пересечения которых с вещественной осью расположены справа от критической точки (кривая 1, рис. 3.14);
2) АФЧХ второго рода, точки, пересечения которых с вещественной осью расположены как справа, так и слева от критической точки (кривая 2, рис. 3.14).
V(w)
 
| |
| |
| -1 | |
       U(w)
| |
2 1
Рис. 3.14. Типы АФЧХ
В системах первого рода увеличение коэффициента усиления ведет к сдвигу ветви кривой влево и приближению ее к критической точке. Запасы устойчивости при этом уменьшаются и при k=kкр система попадает на границу устойчивости. Уменьшение коэффициента усиления стабилизирует систему. В системах 2-го рода переход системы на границу устойчивости может происходить как при увеличении коэффициента усиления, так и при его уменьшении. Из критерия Найквиста следует, что замкнутая система, имеющая в разомкнутом состоянии АФЧХ 1-го рода устойчива, если всем точкам АФЧХ, вплоть до точки пересечения ее с окружностью единичного радиуса (w=wс), соответствуют значения фазы j(w), большие, чем -p, т.е. должно выполняться неравенство wс< wp. Этому определению легко дать интерпретацию на языке ЛЧХ.
j(w) L(w)
 |
-1800 wp ww
wc lgw
yyy H
g
Рис. 3.15. ЛЧХ системы 1-го рода
Для того чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ первого рода, была устойчивой и в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы при всех частотах, при которых ЛАХ положительна, значения фазовой характеристики были больше, чем -p, т.е. wс< wp.
По ЛЧХ легко определяются и запасы устойчивости, причем запас устойчивости по усилению в логарифмическом масштабе должен удовлетворять условию ç Нê > 6дб, что соответствует значениям h> 2.
Для того, чтобы САУ неустойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ 2-го рода, была устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов фазовой характеристикой через линию -p была равна р/2, где р- число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости, при всех частотах когда L(w)> 0.
j(w) L(w)
 | |||
 |
- Å Å
-1800 lgw
 |
Рис. 3.16. ЛЧХ системы 2-го рода
Необходимо подчеркнуть, что показанные способы оценки устойчивости по ЛЧХ и определения запасов устойчивости справедливы при таком расположении оси ординат относительно фазовой характеристики, когда с началом координат совмещена точка j(w)=-1800.
По ЛЧХ можно определить и критический коэффициент усиления. Для этого необходимо сместить ЛАХ вдоль линий сопряжения параллельно самой себе так, чтобы выполнить условие wс = wp и вычислить коэффициент усиления для вновь полученной ЛАХ.
Определение критического коэффициента усиления для статической и астатической систем иллюстрируется рис. 3.17 а и 3.17б.
j(w) L(w) 20lgkкр j(w) L(w)
-20
w=kкр
1800lg w - 1800 lgw
a) б)
Рис. 3.17. Определение критического коэффициента усиления
Некоторые особенности возникают при определении критического коэффициента усиления, если в состав передаточной функции разомкнутой системы входит колебательное звено с малым показателем затухания, причем начало асимптоты, соответствующей этому звену лежит ниже оси частот. В этом случае критический коэффициент усиления определяется в момент касания резонансного пика оси частот.
Пример. Построить ЛЧХ системы стабилизации угла тангажа и оценить ее устойчивость. Определить запасы устойчивости и рассчитать критическое значение передаточного числа по углу тангажа.
Передаточную функцию разомкнутой системы можно привести к виду
Корни характеристического уравнения разомкнутой системы имеют значения:
Следовательно, 
После преобразований получим
где 
Определим частоты сопряжения и разобьем сетку координат.
Построим ЛАХ системы, учитывая, что коэффициент усиления разомкнутой
системы равен 
Так как относительный показатель затуха-
ния мал, то необходимо полученную ЛАХ уточнить в окрестности частоты сопряжения w03. Это можно сделать как по специальным графикам, так и расчетным путем по известной амплитудной частотной характеристике. АЧХ данной системы определяется выражением
j(w) L(w)
w01 w02 w03
-20
w= kкр
-20 wp
-1800
0.1 1 wc 10 100 lgw
H
g -60
Рис. 3.18. ЛЧХ системы стабилизации угла тангажа
Подставив несколько значений частоты в окрестности частоты сопряжения w03, получим значения АЧХ, рассчитаем значения ЛЧХ и построим уточняющую кривую. Фазовая частотная характеристика строится как сумма фазовых характеристик типовых звеньев, входящих в состав передаточной функции
где 
Из графиков ЛЧХ следует, что wс< wp и, следовательно, замкнутая система устойчива. Запас устойчивости по фазе g=1080. Для систем, в которые входят колебательные звенья с малым относительным коэффициентом затухания, запас устойчивости по модулю определяется в точке резонанса и в данном случае он равен» 10дб, что соответствует значению h=3.16. Полученные значения запасов устойчивости незначительно отличаются от значений рассчитанных в соответствии с критериями Гурвица и Михайлова. В исследуемом случае критический коэффициент усиления определяется при касании L(wр) оси частот. Перенесем ЛАХ параллельно самой себе так, чтобы в точке w=wр она касалась оси частот и продлим первую асимптоту до пересечения с осью частот. В этой точке k=w=7.244, что соответствует значению (ku)кр=16.74.
3.5. Выделение областей устойчивости
Среди физических параметров, характеризующих САУ, всегда имеется несколько, легко поддающихся изменению и использующихся для определенной настройки системы. При конструировании системы весьма важно знать диапазоны значений изменяемых параметров, допустимые с точки зрения сохранения устойчивости САУ. Об этих диапазонах можно судить, если в пространстве изменяемых параметров построить область устойчивости, т.е. выделить область значений параметров, при которых система сохраняет устойчивость.
Область устойчивости в теории автоматического управления принято называть D – областью, а представление области параметров в виде областей устойчивости и неустойчивости называют D – разбиением.
3.5.1. Построение области устойчивости по алгебраическим критериям
|
|