Yk- известные функции, определенные в некоторой фиксированной области G пространства переменных yk при любом t>0.

Система автоматического управления называется устойчивой, если после прекращения действия возмущений, вызвавших ее отклонение от положения равновесия, она возвращается в это положение равновесия или заданного движения.

Следовательно, только устойчивая система является работоспособной.

Пусть САУ описывается системой нелинейных стационарных дифференциальных уравнений вида

(3.1)

где y_k- переменные состояния системы;

Yk- известные функции, определенные в некоторой фиксированной области G пространства переменных yk при любом t> 0.

B этом пространстве уравнения (3.1) определяют компоненты Y_k вектора скорости движения некоторой точки М, называемой изображающей точкой. С физической точки зрения уравнения (3.1) следует рассматривать как математическую форму записи тех физических законов, которым подчиняется система автоматического управления. Область G определения функций Y_k является той частью пространства состояний, на которую распространяется действие указанных физических законов.

Пусть величины y₁₀,...., y_n0 обозначают начальные значения переменных состояния. Каждой системе начальных значений соответствует единственное решение

(3.2)

уравнений (3.1), определенное для любых Допустим, что среди всех движений нас интересует то, которое описывается заданными функциями времени

(3.3)

В частном случае, когда система стационарна и функции Y_k явно не зависят от времени, тогда движения (3.3) являются установившимися. Им отвечают так называемые очевидные решения

(3.4)

служащие корнями уравнений

В дальнейшем будем говорить об устойчивости движения системы, имеющей решение (3.3), рассматривая ее установившееся движение (3.4) как частный случай. Введем в рассмотрение отклонения от заданного движения

(3.5)

Подставив выражения для y_k, полученные из (3.5) в исходную систему уравнений, получим

, (3.6)

где

Уравнения (3.6) записаны относительно отклонений, появившихся в результате каких-либо возмущений и, по терминологии Ляпунова, называются уравнениями возмущенного движения [1, 7, 13, 15].

Формула (3.5) определяет преобразование переноса начала координат в точку с координатами и поэтому, если решение системы (3.1) сходится к значениям , то решение системы (3.6) сходится к нулю. Уравнения

(3.7)

называются уравнениями невозмущенного движения.

При t=t₀ переменные х_k принимают свои начальные значения x_k0, которые называются возмущениями. Каждой заданной системе таких возмущений соответствует единственное решение

(3.8)

Эти решения представляют собой возмущенное движение системы.

Изучим поведение разностей (3.5) при t> t₀. Рассмотрим для этого уравнение

(3.9)

которое определяет в n -мерном пространстве квадрат расстояния изображающей точки М от начала координат. Возмущенное движение при t> t₀ может протекать следующим образом:

1) изображающая точка М все более удаляется от начала координат, а величина R неограниченно возрастает (кривая 1 на рис.3.1);

2) изображающая точка М остается внутри некоторой окрестности начала координат, так что величина R все время имеет ограниченное значение, не превосходящее наперед заданное малое положительное число e, т.е. R< e (кривая 2 на рис.3.1);

3) изображающая точка М с течением времени возвращается в начало координат, т.е. (кривая 3 на рис.3.1).

Рис. 3.1. Виды движения изображающей точки

Равновесное состояние x_k=0 можно считать устойчивым, если система, получив начальное возмущение, в дальнейшем продолжает оставаться в ближайшей окрестности равновесного состояния или возвращается в него. Следует дать конкретное толкование понятию “ближайшая окрестность” и основоположник теории устойчивости А.М. Ляпунов дал следующее определение устойчивости.

Невозмущенное движение называется устойчивым по отношению к величинам xk, если при всяком произвольно заданном положительном числе e, как бы мало оно ни было, найдется другое такое положительное число h(e), при котором для возмущений xk0, удовлетворяющих условиям

(3.10)