Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Интерполяционная формула Лагранжа
|
|
Пусть на отрезке [a, b] функция у=f(x) задана таблично, т.е. (xi, yi), (i=0, 1,.., n), где yi=f(xi). Так заданную функцию называют «сеточной».
Постановка задачи: найти алгебраический многочлен (полином):
степени не выше n такой, чтобы
Ln(xi)=yi , при i= 0, 1 ,.., n, (5.6)
т.е. имеющий в заданных узлах xi, (i =0, 1,.., n) те же значения, что и сеточная функция у = f(x).
Сам многочлен Ln(x) называется интерполяционным полиномом, а задача – полиномиальной интерполяцией.
Найти многочлен Ln(x) – это значит найти его коэффициенты a 0, a 1, …, a n. Для этого имеется n+ 1 условие (5.6), которые записываются в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ai, (i =0, 1, …, n):
где x i и y i (i =0, 1, …, n) – табличные значения аргумента и функции.
Из курса алгебры известно, что определитель этой системы, называемый определителем Вандермонда:
отличен от нуля и, следовательно, система (5.7) имеет единственное решение.
Определив коэффициенты a 0, a 1, …, an , решая систему (5.7), получаем так называемый интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x):
(5.8)
который можно записать в виде:
Доказывается [3, 6], что по заданным n +1 значениям функции можно построить единственный интерполяционный многочлен Лагранжа (5.8).
На практике широко используются интерполяционные многочлены Лагранжа первой (n= 1) и второй (n= 2) степени.
При n= 1 информация об интерполируемой функции у=f(x) задается в двух точках: (x 0, y 0 ) и (x 1, y 1 ), и многочлен Лагранжа имеет вид
Для n= 2 многочлен Лагранжа строится по трехточечной таблице
| xi | x 0 | x 1 | x 2 |
| yi | y 0 | y 1 | y 2 |
и имеет вид
Приближенные равенства
называются соответственно формулами линейной и квадратичной интерполяции.
n Пример 5.1. Построить интерполяционный полином Лагранжа для функции, заданной таблицей:
| xi | ||||
| yi |
Решение: Подставляем исходные данные в формулу (5.8). Степень полученного многочлена Лагранжа не выше третьей, так как функция задается четырьмя значениями:
Пользуясь интерполяционным полиномом Лагранжа, можно найти значение функции в любой промежуточной точке, например при х =4:
= 43
Интерполяционные полиномы Лагранжа используются в методе конечных элементов, широко применяемом при решении задач строительства.
Известны и другие формулы интерполяции, например, интерполяционная формула Ньютона [3, 6], применяемая при интерполяции в случае равноотстоящих узлов или интерполяционный полином Эрмита [3].
Сплайн-интерполяция. При использовании большого числа узлов интерполяции используют специальный прием – кусочно-полиномиальную интерполяцию, когда функция интерполируется полиномом степени т между любыми соседними узлами сетки.
|
|