Квадратурная формула Симпсона

Точность приближенного интегрирования заметно возрастает, если подынтегральную функцию y =f(x) на отрезке [ x_i-1 , x_i+1 ] длиной 2 h заменить квадратичной функцией проходящей через три точки A (x_{i- 1} , y_{i- 1}), B (x_i, y_i), C (x_{i+ 1}, y_{i+ 1}) (рис.4.5).

Площадь элементарной криволинейной трапеции с основанием [ x_i-1 , x_i+1 ] по формуле Симпсона имеет вид

Рис.4.5. Схема формулы Симпсона

Для определенного интеграла (4.1) отрезок [ a, b ] разбивается на четное число отрезков n =2 m c шагом h=(b-a)/2m. Формула Симпсона в общем случае может быть записана:

где y_i=f(x_i), i=0, 1, 2, ……, n.

Формула Симпсона обладает повышенной точностью.

Алгоритм для приближенного вычисления интеграла (4.1) по формуле Симпсона:

1. n=2m;

2. h=(b-a)/2m;

3. x₀ = a, x_i+1 = x_i +h (i=0, 1, ……, n-2), x_n = b;

4. у_i =f (x_i ), (i=0, 1, ……, n);

5. M₀ =y₀ + y_n =f(a)+f(b);

Для вычисления интеграла с заданной степенью точности ε надо использовать метод половинного шага, изложенный выше.

n Пример 4.3. Вычислить по формуле Симпсона интеграл

Решение. По формуле (4.13) имеем

Подставляя значения подынтегральной функции в узлах х ₀=1, х ₁=3, х ₂=5, х ₃=7, х ₄=9, получим

что практически совпадает со значением интеграла, вычисленного ранее по формуле Ньютона–Лейбница.

Формула Симпсона, в частности, используется в строительной механике стержневых систем при вычислении интегралов Мора, где подынтегральной функцией является произведение эпюр изгибающих моментов (М ₁ М _р) или других внутренних усилий. Результат получается точным, если обе перемножаемые эпюры прямолинейны (их произведение – квадратная парабола) или одна из эпюр - параболическая, а другая линейная (произведение – кубическая парабола). Формула Симпсона применима и в тех случаях, когда стержень имеет переменное сечение или криволинейное очертание.

n Пример 4.4. Перемножить две эпюры М_р и М ₁, (рис.4.6), используя формулу Симпсона и полагая EJ= Const.

Рис.4.6. Перемножаемые эпюры

Перемножать эпюры по формуле Симпсона следует на участках, где эпюры меняются плавно без скачков и переломов. При наличии же таковых (в местах приложения сосредоточенных моментов или сил) перемножение надо производить на каждом отдельном участке, где функции меняются плавно.