Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Квадратурные формулы прямоугольников
|
|
Отрезок интегрирования [ a, b ] разбиваем на n равных отрезков и получаем множество (n +1) равноудаленных узлов (равномерную сетку Ω n):
Ω n={ x0=a, xi+1 = xi +h, i= (0, 1,.., n -1), xn = b, h=(b-a)/n },
где h шаг разбивки.
Введем обозначение: уi =f(xi), i= (0, 1,., n).
Площадь каждой элементарной криволинейной трапеции заменим площадью прямоугольника с основанием h и высотой f(xi), где xi Î [xi, xi+1], i =0, 1, 2, ….., n -1 (рис.4.3).
| ξ i |
Рис.4.3. Схема метода прямоугольников
В зависимости от выбора xi существует несколько формул прямоугольников.
Формула «левых» (входящих) прямоугольников, когда xi=xi:
Формула «правых» (выходящих) прямоугольников, когда xi=xi+1.
Формула «средних» прямоугольников, когда xi =xi +h/2:
n Пример 4.1. С помощью формул левых и правых прямо-угольников вычислить интеграл
Решение. Зная пределы интегрирования а =1, b =9, находим шаг h =(b-a)/ n =2;
Тогда точками разбиения (узлами) служат х 0=1, х 1=3, х 2=5, х 3=7, х 4=9, а значения подынтегральной функции 
в этих узлах равны соответственно:
| x | |||||
| y=f(x) | 
| 
| 
| 
| 
|
Найдем численное значение интеграла, пользуясь формулой левых прямоугольников:
Вычислим интеграл по формуле правых прямоугольников:
что достаточно близко совпадает со значением интеграла, вычисленного по формуле Ньютона-Лейбница:
|
|