Условия сходимости итерационного процесса

Прежде чем применять итерационные методы для решения какой-либо системы, необходимо убедиться, что решение может быть получено, т.е. итерационный процесс сходится к точному решению.

Доказывается теорема [2], что, если хотя бы одна из норм матрицы нормальной системы (3.14) меньше единицы, то итерационный процесс сходится к единственному решению. Т.е. изложенные выше итерационные методы можно использовать для систем, удовлетворяющих одному из следующих условий [6]:

А для системы (3.11) итерационный процесс сходится, если элементы матрицы А удовлетворяют условию (3.12) т.е. матрица А является матрицей «с преобладанием диагональных элементов».

n Пример 3.4. Показать, что для системы (3.19) примера 3.2 итерационный процесс является сходящимся.

Решение. Матрица системы, приведенной к нормальному виду (3.20), имеет вид:

Для проверки достаточного условия сходимости вычислим нормы матрицы a:

Достаточное условие сходимости (3.25) итерационного процесса выполнено.

Таким образом, теорема сходимости накладывает жесткие условия на коэффициенты заданной системы уравнений

Однако, если det A¹ 0, то с помощью конечного числа элементарных преобразований исходную систему всегда можно привести к эквивалентной такой, что условия сходимости (3.18) будут выполнены.

n Пример 3.5. Привести систему к виду, пригодному для использования итерационных методов решения:

Решение:

1) В уравнении (В) коэффициент при х ₂ по модулю больше суммы модулей остальных коэффициентов. Принимаем уравнение (В) за 2-е уравнение новой системы:

2, 5 x ₁ + 7 x ₂ - x ₃ = 3, 5;

2) Из оставшихся неиспользованных уравнений системы составляем линейно независимые между собой комбинации. За 1-е уравнение новой системы можно взять линейную комбинацию (2С) + (А):

10 х ₁ - х ₂ + 2 х ₃ = 0;

3) За 3-е уравнение новой системы можно принять линейную комбинацию (2А) – (В), т.е.

– 0, 5 х ₁ – х ₂ – 7 х ₃ =2, 5;

В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений, эквивалентную исходной, но «с преобладанием диагональных элементов»: