Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Системы линейных алгебраических уравнений
|
|
Системы линейных алгебраических уравнений могут непосредственно составлять задачу из области строительных технологий, которую необходимо решить. Это канонические уравнения метода сил, метода перемещений, смешанного, комбинированного методов – в расчетах статически неопределимых систем. Это уравнения равновесия (баланс сил) – в расчетах статически определимых систем и др. С другой стороны, многие задачи строительства при их математической постановке сводятся к решению системы линейных алгебраических уравнений той или иной структуры. Это краевые задачи, описываемые дифференциальными уравнениями, вариационные задачи и др.).
Система линейных алгебраических уравнений в общем случае имеет вид
Эту систему удобнее записывать в матричной форме
где А – матрица системы, 
– вектор решения, 
– вектор свободных членов.
Решение систем линейных алгебраических уравнений представляет собой типичный образец численных расчетов, которыми занимались еще в древности. Это основной “строительный блок” для алгоритмов решения большинства задач, в которых используются математические модели.
Система (3.1) имеет единственное решение [8], если матрица А невырожденная (det A 
0).
Если использовать понятие обратной матрицы (А -1), то решение СЛАУ можно записать
Такой подход к решению СЛАУ крайне неэффективен, т.к. вычислительные потери при вычислении обратной матрицы очень большие. И если нет необходимости исследовать непосредственно элементы обратной матрицы, то лучше не вычислять ее.
В курсе линейной алгебры решение системы (3.1) обычно находится по формулам Крамара в виде отношения определителей.
Для численного решения систем высокого порядка (а именно такие встречаются при решении задач строительства) этот метод непригоден, так как требует вычисления (n+ 1 )- го определителя. Даже при выборе наилучшего метода вычисление одного определителя потребуется такое же временя, что и для решение самой системы современными численными методами.
Методы решения СЛАУ. Все методы решения СЛАУ можно условно разбить на два класса: прямые ( илиточные ) и итерационные. Имеются и «гибридные» методы [3, 4].
Прямые методы позволяют за конечное число действий получить точное решение системы. Слова “точное решение” нужно понимать условно, как характеристику алгоритма, а не реального вычислительного процесса.
Итерационные методы дают решение СЛАУ в виде предела последовательности некоторых векторов, построение которых осуществляется посредством единообразного процесса, называемого итерационным процессом. Они позволяют найти приближенное решение системы с заданной точностью.
Выбор того или иного метода зависит от многих обстоятельств:
- от вида матрицы коэффициентов;
-
- от порядка системы;
- от имеющегося программного обеспечения;
- от объема оперативной памяти ЭВМ и др.
|
|