Занятие №2. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат

Цель занятия: усвоить правило вычисления двойного интеграла на уровне умения решать типовые задачи.

Учебные вопросы

1. Вычисление двойных интегралов с данными пределами интегрирования.

2. Расстановка пределов интегрирования и вычисление двойных интегралов.

Ход занятия

Задача 1. Вычислить интегралы:

а) б)

Решение. а) Сначала находим внутренний интеграл:

Полученный результат есть подынтегральная функция для внешнего интеграла:

б) Вычисление начинаем с внутреннего интеграла, где у является переменной, а х – постоянной (при интегрировании постоянная величина выносится за знак интеграла).

Далее вычисляем внешний интеграл, полученный результат интегрируем по х:

Ответ: а) 4; б)

Задача 2. Решить самостоятельно по образцу задачи 1. Вычислить двукратные интегралы:

1)

2)

3)

4)

5) .

Задача 3. Вычислить двойной интеграл

если

Решение. 1. Построим область интегрирования D (рис. 11).

Рис. 11

2. Определим порядок интегрирования по виду области D. Удобно в повторном интеграле внутреннее интегрирование выполнять по у, а внешнее по х. Тогда:

3. Найдем пределы интегрирования внешнего интеграла: Значение найдем, решая совместно уравнения:

Переменная у изменяется в области от ее значения на нижней части контура до ее значения на верхней части контура. Таким образом:

Вычислим внутренний интеграл:

Затем вычислим внешний интеграл:

Ответ:

Задача 4. Решить самостоятельно по образцу задачи 3. Перейти к двукратному интегралу и вычислить его по данной области:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задача 5. Вычислить двукратные интегралы:

1)

2)

3)

Задача 6. Вычислить двойной интеграл

по области D, ограниченной треугольником с вершинами