Второй закон Кирхгофа требует суммарного нулевого изменения напоров hi для любого контура схемы, для этого достаточно, чтобы равенство

(3)

выполнялось для любой из выбранной системы независимых контуров (k=1, 2,...L).

Для каждого участка имеет место:

h_i + H_i = f(g_i) = S_i|g_i|g_i (i = 1, 2, …, N) (4)

где Si – гидравлическое сопротивление участка; Hi – действующее давление источника.Путем введения векторов g ={g₁, g₂,.., g_N}^T h ={h₁, h₂, …, h_N}^T H ={H₁, H₂, …H_N}^T Q ={Q₁, Q₂, …, Q_M-1}^T и диагональных матриц:

Соотношение (4) можно представить в матричной форме, относящейся сразу ко всем участкам схемы:

(5)

Система уравнений (1-4) может быть представлена в матричной форме.

В краткой записи:

(6)

где A – матрица соединений (элемент а_ij = 1, если j -ая ветвь соединена с i -м узлом и направлена от узла, а_ij = –1, если j -ая ветвь соединена с i -м узлом и направлена к этому узлу и а_ij = 0, если j -ая ветвь не соединена с i -м узлом); B – матрица контуров (0 – участок i не принадлежит к контуру k; 1 – совпадает с направлением обхода контура; -1 – противоположно обходу контура).

Из системы (5) и (6) можно исключить вектор :

Порядок системы понижается с 2N до N.

При построении этой системы, выбирают одну из главных систем контуров следующим образом:

а) на схеме выделяется некоторое дерево, связывающее все ее М узлов. В результате все участки разбиваются на (М – 1) – участков дерева и на L участков, не вошедших в это дерево, называемых хордами.

б) каждая хорда замыкает какую-то последовательность участков дерева и однозначно определяет контур, который и фиксируется соответствующей строкой в матрице В.

в) матрица А, В и векторы цепи расщепляются на матрицы и векторы хорд и дерева

Для решения системы нелинейных уравнений (7) – (8) относительно можно использовать метод контурных расходов (МКР) в сочетании с методом Ньютона. При этом процесс последовательных приближений можно представить в виде:

(9)

где – порядковый номер приближения. Если вектор расходов начального приближения выбирать из условия удовлетворения первого закона Кирхгофа для всех узлов т.е. то вектор поправок для расходов на участках можно вычислить по соотношениям

(10)

что касается к поправкам на хордах Dg_х , то они выбирается из условия уменьшения невязок , которые получаются при подстановке в (8) очередного приближения :

(11)

где – вектор-столбец невязок напоров, вычисленные для контуров по данным N-го. Наша цель добиться выполнения равенства:

(12)

Раскрывая скобки, пренебрегая членами и подставляя вместо его выражение из (10) через с учетом (11), получим систему линейных уравнений, содержащих L неизвестных поправок на хордах:

(13)

Эту систему надо решать на каждом шаге итерации.

Алгоритм последовательных приближений по методу МКР представляет последовательность следующих шагов:
Невязки приближений по потери напора для любого контура L вычисляется по формулам: (14)

Элементы матрицы М определяются по формуле:

, (15)

а сами уравнения имеют вид:

(16)

(17)

где – поправки к значениям неизвестных расходов.

2. Гидравлический расчет тепловой сети.

Например: Номер зачетной книжки № 072-135

(№ 072-LMN, L=1; M=3-нечетная; N=5)

Произвести гидравлический расчет тепловой сети изображенной на рис 1. при следующих данных:

H₁=0, H₂=0, H₃=0, H₄=0, H₅=0, H₆=0,

H₇=20000+1000× (6-M)[Па]=23000,

H₈=200× год[Па],

H₉=0, H₁₀=0, H₁₁=0, H₁₂=0.

S₁=0.1× (1+L) =0.2 [Па/(кг./час.)²],

S₂=0.1× (1+L)= 0.2 [Па/(кг./час.)²],

S₃=0.1× (1+L) =0.2 [Па/(кг./час.)²],

S₄=0.002× (1+L) =0.004 [Па/(кг./час.)²],

S₅=0.002× (1+L) =0.004 [Па/(кг./час.)²],

S₆=0.002× (1+L)= 0.004 [Па/(кг./час.)²],

S₇=0.001× (1+L) =0.002 [Па/(кг./час.)²],

S₈=0.002× (1+L) =0.004 [Па/(кг./час.)²],

S₉=0.002× (1+L) =0.004 [Па/(кг./час.)²],

S₁₀=0.001× (1+L) =0.002 [Па/(кг./час.)²],

S₁₁=0.001× (1+L) =0.002 [Па/(кг./час.)²],

S₁₂=0.001 =0.001 [Па/(кг./час.)²],

Np=(Мч+N) (Мч =0 если M- четная; Мч=10 если M-Нечетная)

Пример:

M=3-нечетная; Мч=10; N=5: Np=(Мч+N) =10+5=15

Q₁ = Q₂ = Q₃ = Q₅ = Q₆ = Q₇ = 0 [кг./час.]

Q₁₀ = -Q₅ = -(400 + 10× Np +20× год), [кг./час.] Год=15

Q₁₀ = -850

Q₅ = 850

В соответствии с данными строятся:

а) Матрица соединений A:

б)Матрица контуров В.

Т.о. сеть содержит три главных контура, соответственно три участка-хорды, имеющие номера 1, 2, 3.

Составляем распределение расходов пор участкам, удовлетворяющее первому закону Кирхгофа, соответствующее нулевому приближению решения .

Поправки к значениям расходов для хорд находим из системы

или

Где элементы матрицы Кирхгофа М определяются по формуле:

,

а невязки по потере напора для главных контуров вычисляется по формулам:

Поправки к значениям неизвестных расходов для всех участков вычисляются по формулам

Первое приближение:

				H i, Па	S i, Па/(кг/ч)2	, кг/ч	S i | |	S i |g i |g i, Па	кг/ч	кг/ч
1					0, 2				-147.44	352.56
2					0, 2				-144.36	355.36
3					0, 2				-135.31	364.68
4					0, 004				-147.44	352.56
5					0, 004				-291.80	708.19
6					0, 004				-135.31	364.68
7					0, 002				-427.12	1072.88
8					0, 004		2.6		-427.12	222.87
9					0, 002				-147.44	352.56
10					0, 002				-291.80	708.19
11					0, 002				-135.31	364.68
12					0, 001		1.5		-427.12	1072.88

Элементы матрицы Кирхгофа

М₁₁ = 100 + 2 + 4 + 3+2.6+1+2+1.5 = 116, 1 М₁₂ = М₂₁ = 4+3+2.6+2+1.5=13.1

М₂₂ = 100 +4+ 3+2.6+2+1.5= 113, 1 М₁₃ = М₃₁ = 3+2.6+1.5=7.1

М₃₃ = 100 +2+ 3+2.6+2+1.5= 110.1 М₃₂ = М₂₃ = 3 + 2, 6 +1.5 = 7.1

Невязки главных контуров

= 50000 + 1000 + 4000 + 4500 + 1690 + 500 + 2000 + 2250 - 23000 - 3000 =

= 39940

= 50000 + 4000 + 4500 + 1690 + 2000 + 2250 - 23000 - 3000 = 38440

= 50000 + 1000 + 4500 + 1690 + 500 + 2250 - 23000 - 3000 = 33940

Система уравнений

116, 1 Dg_I + 13, 1 Dg_II + 7, 1 Dg_III = -19970

13, 1 Dg_I + 113, 1 Dg_II + 7, 1 Dg_III = -19220

7, 1 Dg_I + 7, 1 Dg_II + 110, 1 Dg_III = -16970

Решим методом Крамера

Полученное поправки используем для расчета остальных поправок.

Второе приближение:

i				H i, Па	S i, Па/(кг/ч)2	кг/ч	S i | |	S i |g i |g i, Па	кг/ч	кг/ч
1					0, 2	352.56	70.52	24859, 36	-33, 90	318, 66
2					0, 2	355.36	71, 13	25295, 14	-32, 43	323, 20
3					0, 2	364.68	72, 94	26599, 06	-28, 42	336, 27
4					0, 004	352.56	1, 41	497, 18	-33, 90	318, 66
5					0, 004	708.19	2, 83	2006, 14	-66, 33	641, 86
6					0, 004	364.68	1, 46	531, 98	-28, 42	336, 27
7					0, 002	1072.88	2, 14	2302, 13	-94, 75	978, 13
8					0, 004	222.87	0, 892	198, 69	-94, 75	128, 13
9					0, 002	352.56	0.702	248.59	-33, 90	318, 66
10					0, 002	708.19	1.42	1003.07	-66, 33	641, 86
11					0, 002	364.68	0.73	265.99	-28, 42	336, 27
12					0, 001	1072.88	1.07	1151.07	-94, 75	978, 13

М₁₁ = 70.51 + 1.41 + 2.833 + 2.146+0.892+0.705+1.416+1.073 =80.986

М₁₂ = М₂₁ = 2.833+2.146+0.892+1.416+1.073=8.359

М₂₂ = 71.12 +2.833+ 2.146+0.892+1.416+1. 073 =79.486

М₁₃ = М₃₁ = 2.146+0.892+1.073 = 4.110

М₃₃ =72.937+2+3+2.6+2+1.5 =79.235

М₂₃ = М₃₂ = 2.146+0.892+1.073 = 4.110

24859.36 + 497.18 + 2006.14 + 2302.13 + 198.69 + 248.59 + 1003.07 + 1151.07 - 23000 - 3000 = 6266.2

25295.14 + 2006.14 + 2302.13 + 198.69 + 1003.07 + 1151.07 - 23000 - 3000 = 5956, 25

26599.06 + 531.98 + 2302.13 + 198.69 + 265.99 + 1151.07 - 23000 - 3000 = 5048, 9

80.986 Dg_I + 8.359 Dg_II + 4.110 Dg_III = -3133.1

8.359 Dg_I + 79.486 Dg_II + 4.110 Dg_III = -2978.1

4.110 Dg_I + 4.110 Dg_II + 79.235 Dg_III = -2524, 5

Полученные поправки используем для расчета остальных поправок.

Третье приближение:

.........................................................................

Вычисления продолжаются до выполнения условия: