Образец решения типового расчёта по теории вероятностей и математической статистике.

Типовой расчёт

по дисциплине

“Теория вероятностей и математическая статистика”

Содержание.

Введение ____________________________________________ 4

Образец решения типового расчёта по теории вероятностей

и математической статистике.___________________________ 5

Варианты заданий типового расчёта по теории вероятностей

и математической статистике ___________________________ 9

Литература __________________________________________ 18

Введение.

В связи с тем, что по учебной программе при изучении дисциплины “Теория вероятностей и математическая статистика” значительное время отводится на самостоятельную работу студентов, практикуется такая её форма, как типовой расчёт. Типовой расчёт включает в себя наиболее типичные и распространённые практические задания по основным разделам учебной программы.

Каждый студент заочного отделения обязан выполнить все задания и предоставить их преподавателю для проверки в сроки, указанные в приведённом ниже графике. Варианты заданий присваиваются каждому студенту преподавателем. Типовой расчёт выполняется на отдельной ученической тетради в клетку; решение оформляется согласно приведённым для каждого задания образцам. При этом работа считается зачтённой, если правильно и без грубых недочётов выполнено не менее 75 % заданий. В противном случае, работа возвращается студенту на доработку с соответствующей рецензией преподавателя. Выполненный типовой расчёт должен быть сдан и проверен не позднее, чем за неделю до начала экзаменационной сессии. Студент, не выполнивший этого требования без уважительной причины, автоматически не допускается до экзамена по дисциплине “Теория вероятностей и математическая статистика”.

Образец решения типового расчёта по теории вероятностей и математической статистике.

1. В ящике 10 шаров: 7 черных и 3 белых. Из ящика вынимают 5 шаров. Найти вероятность того. что среди них окажется 3 черных и 2 белых шара.

Решение.

Требуемую вероятность найдем с помощью классической формулы:

Число n - общее число возможных исходов - равно (поскольку порядок шаров безразличен) сочетанию 5 из 10 элементов: n = C

Теперь определим число благоприятных исходов т. Очевидно, что способов, которыми можно вынуть 3 черных шара из 7 и 2 белых шара из 5 равно cсоответственно: С и С .

Поскольку каждая комбинация черных шаров может сочетаться с любой комбинацией белых, всего получится С способов.

Получим: Р(А) =

Ответ: Р(А) ≈ 0, 42

2. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 5 карт. Какова вероятность того, что среди них не будет карты пиковой масти?

Решение.

Как и в предыдущем случае воспользуемся формулой классического подсчета вероятностей

Очевидно, общее количество возможных исходов n равно С

Так как в колоде 27 карт не пиково» масти, то благоприятным исходом можно считать извлечение 5 любых из них. Тогда m = С

Получим: Р(А) =

Ответ: Р(А) ≈ 0, 214

3. Вероятность обнаружения опечатки на странице книги равна 0, 01. Найти вероятность того, что в 500-страничной книге не будет обнаружено опечаток (обнаружение опечаток на различных страницах считать независимыми событиями).

Решение.

Поскольку в условиях независимых испытаний Бернулли вероятность р = 0, 01 близка к нулю, а n = 500 велико, применим формулу Пуассона:

P_n(k) = a =500 ∙ 0, 01 = 5

Для k = 0 (отсутствие опечаток), получаем: H₅₀₀(0) =

Ответ: Р₅₀₀ ≈ 0, 007

4. Узел содержит три независимо работающие детали. Вероятность отказа деталей соответственно равны 0, 1; 0, 2; 0, 3. Найти вероятность отказа учла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.

Решение.

Для нахождения вероятности события А - отказа узла, найдем сначала вероятность противоположного события Р(Ā), заключающегося в исправной работе всех деталей:

Р(Ā) = (1-0, 1)∙ (1-0, 2)∙ (1-0, 3) = 0, 9∙ 0, 8∙ 0, 7 = 0, 504.

Искомая вероятность равна:

Р(А) = 1 - Р(Ā) = 1-0, 504 = 0, 496

Ответ: Р(А) ≈ 0, 496

5. Монета бросается пять раз. Найти вероятность того, что орел выпадет 2 раза.

Решение.

По формуле Бернулли при n = 5, р = 0, 5 найдем искомую вероятность:

Ответ: Р₂(2) ≈ 0, 01

6. Два завода производят детали, поступающие в магазин. Вероятность выпуска бракованной детали для первого завода равна 0, 8, для второго - 0, 7. С первого завода поступило в 3 раза больше деталей, чем со второго. Покупатель приобрел годную деталь. Найти вероятность того, что она с первого завода.

Решение.

Этот пример решим по формуле Байеса:

Где события (гипотезы) Н₁ и Н₂ - произвольно выбранная соответственно первом или втором заводе деталь; событие А заключается в том, что деталь годная. Получим:

Ответ: Р_А ≈ 0, 77

7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения:

Решение.

Сначала найдём математическое ожидание по формуле:

Дисперсию вычислим по формуле:

.

Чтобы найти , составим закон распределения для в виде таблицы:

Тогда .

Получим: .

Находим среднее квадратическое отклонение: .

Ответ: .

8. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале .

Решение.

а) Воспользуемся тем, что плотность распределения является производной от функции распределения: . Получим:

б) Вероятность того, что случайная величина примет значение из некоторого интервала равна приращению её функции распределения на этом интервале:

.

В нашем случае:

.

9. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :

Найти функцию распределения .

Решение.

Используем формулу:

.

Получим:

3. Варианты заданий для типового расчёта по дисциплине “Теория вероятностей и математическая статистика”

Вариант 1.

1. В ящике 20 изделий: 16 годных, 4 бракованных. Из ящика вынимают сразу 2 изделия. Какова вероятность, что оба изделия окажутся а) годными, б) бракованными, в) хотя бы одно изделие будет годным?

2. В партии из 15 деталей имеются 10 стандартных. Наудачу отобрано 5 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных ровно 3 стандартные детали.

3. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 5. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

4. В партии готовой продукции, состоявшей из 20 изделий, 4 бракованные. Найти вероятность того, что при случайном выборе 4-х изделий число бракованных и не бракованных изделий окажется равным.

5. В ящике 10 деталей, из которых 4 бракованных. Из ящика вынимают 5 раз деталь (с возвращением ее каждый раз обратно). Найти вероятность того, что хотя бы один раз будет вынута бракованная деталь.

6. Партия изделий содержит 5 % брака. Найти вероятность того, что среди вынутых наугад 4-х изделий окажется 2 бракованных.

7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения:

8. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале .

9. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :

Найти функцию распределения .

Вариант 2.

1. На завод привезли партию из 150 подшипников, в которую случайно попало 20 бракованных. Определить вероятность того, что из двух взятых наугад подшипников окажется: а) оба годные, б) оба бракованные, в) хотя бы один годный.

2. В урне 15 белых и 5 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется 3 белых шара.

3. В колоде 36 карт. Наугад вынимают 5 карт. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.

4. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных - 9 отличников.

5. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди них 2 мальчика, если вероятность рождения мальчика равна 0, 51. 6. Вероятность наступления события А в одном опыте равна 0, 6. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях.

7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения:

8. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале .

9. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :

Найти функцию распределения .

Вариант 3.

1. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди них находятся 3 женщины

2. В ящике среди 100 деталей находится 1 бракованная. Из ящика наудачу извлечены 10 деталей. Найти вероятность того, что среди них окажется бракованная.

3. В коробке 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди 2-х извлеченных изделий окажется: а) одно окрашенное; б) 2 окрашенных; в) хотя бы одно окрашенное изделие.

4. Вероятности появления каждого из двух независимых событий А и В соответственно равны 0, 6 и 0, 5. Найти вероятность появления только одного из них.

5. Узел содержит 2 независимо работающих детали. Вероятности отказа детали соответственно равны 0, 05 и 0, 08. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.

6. Вероятность изготовления детали высшего сорта равна 0.4. Найти вероятность того, что из 260 деталей половина будет высшего сорта.

7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения:

8. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале .

9. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :

Найти функцию распределения .

Вариант 4.

1. На складе 30 подшипников, причем 20 из них изготовлено данной бригадой. Найти вероятность того. что среди 5 взятых наудачу подшипников окажется 3 подшипника, изготовленных этой бригадой.

2. Из колоды 36 карт вынимают сразу 3 карты. Найти вероятность того, что эти карты будут дамой, семеркой, тузом.

3. Колода в 16 карт (8 красных и 8 черных) делится пополам. Найти вероятность того, что число красных и черных карт в обеих пачках будет одинаковым.

4. Из ящика, содержащего 15 изделий 1-го сорта и 8 2-го сорта, вынимают сразу 5 деталей. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна деталь 2-го сорта.

5. Всхожесть семян ржи составляет 90 'Л. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдет 5?

6. Монета подброшена 40 раз. Найти вероятность того, что орел выпадает в 25 случаях.

7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения:

8. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале .

9. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :

Найти функцию распределения .

Вариант 5.

1. В партии из 10 изделий 2 бракованных. Наугад выбирают три изделия. Определить вероятность того, что среди этих изделий будет хотя бы одно бракованное.

2. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 3 карты. Какова вероятность того. что среди них окажутся 2 туза?

3. 12 рабочих получили путевки в 4 дома отдыха: 3 - в первый, 3 - во второй, 2 - в третий и 4 - в четвертый. Найти вероятность того, что данные трое рабочих поедут в один дом отдыха.

4. В магазин вошли 10 покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0, 2. Найти вероятность того, что 6 из них совершат покупку.

5. Вероятность изготовления изделия высшего качества равна 0, 8. Найти вероятность того, что среди взятых 60 изделий 30 окажутся высшего качества.

6. Фабрика выпускает 70 % изделий высшего сорта. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760.

7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения:

8. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале .

9. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :

Найти функцию распределения .

Вариант 6.

1. В ящике имеется 20 деталей, из которых 15 окрашено. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

2. Из колоды 52 карты наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того. что среди них окажутся 2 дамы.

3. Проверяются изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно равна 0.9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно - стандартное.

4. Игральная кость бросается 5 раз. Найти вероятность того. что 3 очка выпадут 2 раза.

5. Вероятность изготовления деталей первого сорта равна 0, 8. Найти вероятность того, что из 60 взятых деталей 48 окажутся первого сорта.

6. Завод выпускает в среднем 70 % изделий 1-го сорта. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий число изделий 1-го сорта заключено между 650 и 750.

7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения:

8. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале .

9. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :

Найти функцию распределения .

Вариант 7.

1. В урне 20 шаров: 16 белых и 4 черных. Из урны вынимают сразу 3 шара. Найти вероятность того, что из них 2 шара будут белые и один 1 черный.

2. В партии из 30 деталей имеется 25 стандартных. Наудачу отобраны 6 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных ровно 4 стандартных деталей.

3. Из колоды в 52 карты наугад вынимают 4. Найти вероятность того. что среди них окажется хотя бы одна дама.

4. В группе 16 студентов, среди которых 8 отличников. Наугад отобраны 10 студентов, найти вероятность того, что среди отобранных 5 отличников.

5. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при 4-х выстрелах равна 0, 9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

6. Партия изделий содержит 3 % брака. Найти вероятность того, что среди взятых наугад 5 изделий окажется 2 годных.

7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения:

8. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале .

9. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :

Найти функцию распределения .

Вариант 8.

1. В урне 15 белых и 8 черных шаров. Вынимают сразу 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.

2. В колоде 36 карт. Наугад вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

3. Вероятности появления каждого из двух независимых событий А и В равны соответственно 0, 3 и 0, 7. Найти вероятность появления только одного из них в трех испытаниях подряд.

4. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди них 3 девочки, если вероятность рождения девочки равна 0, 49.

5. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0, 8. Найти вероятность того, что событие А появится не более 74 раз.

6. Вероятность наступления события А в каждом опыте равна 0, 64. Найти вероятность того, что событие А в 100 опытах произойдет 76 раз.

7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения:

8. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале .

9. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :

Найти функцию распределения .

Вариант 9.

1. Цех выпускает в среднем 80 % продукции 1-го сорта. Какова вероятность того, что в партии из 125 изделий будет больше 100 изделий 1-го сорта?

2. Вероятность рождения мальчика равна 0, 51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет 50 мальчиков.

3. Монета бросается 10 раз. Какова вероятность того, что орел выпадает 3 раза?

4. Колода из 12 карт (6 красных и 6 черных) делится пополам. Найти вероятность того, что число красных и черных карт в обеих пачках будет одинаково.

5. Из колоды в 36 карт вынимают сразу 3 карты. Найти вероятность того, что эти карты будут дамой, семеркой и тузом.

6. Бросаются три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 9.

7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения:

8. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале .

9. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :

Найти функцию распределения .

Вариант 10.

1. В урне 15 белых и 5 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 3 белых шара.

2. В колоде 32 карты. Наугад вынимают 5 карт. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.

3. Произведен залп из двух орудий. Вероятность попадания в цель из первого орудия равна 0, 8, из второго - 0, 9. Найти вероятность поражения цели.

4. Вероятность появления событий в каждом из 10000 независимых испытаний постоянна и равна 0, 8. Найти вероятность того, что события произойдет не более 7400 раз.

5. Вероятность выигрыша по облигации займа равна 0, 25. Какова вероятность того, что из 8 облигаций 3 выиграют?

6. Вероятность наступления события А в одном опыте равна 0, 6. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 опытах.

7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной законом распределения:

8. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале .

9. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :

Найти функцию распределения .

Литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1999.

2. Вентцель А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1997.

3. Кремер Н.К. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Юнити-ДАНА, 2000.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Краткий курс теории вероятностей и математической стати­стики. - М.: Наука, 1987.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1999.

6. Кочетков В.Е. Краткий курс высшей математики. - М.: РИЦ МГИУ, 2000.

7. Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. - М.: Высшая школа, 1986.