Пример 4. Определение периода полураспада и энергии ядерных превращений

1. Константа распада изотопа радиоактивного элемента радия равна 1, 6·10^-3(1/с). Определите период полураспада и среднюю продолжительность жизни этого элемента.

Решение. Согласно уравнению (11), между средней продолжительностью жизни радиоактивного элемента (τ ₀) и константой его радиоактивного превращения (λ) наблюдается обратная пропорциональная зависимость τ ₀ = 1/λ. Решая это уравнение, получим: τ ₀ = 1/1, 6·10^-3(1/с) = 263 с = 4, 38 мин.

Определим период полураспада ядер радиоактивных изотопов радия, используя уравнение (12) теоретической части этой темы: τ _½ = τ ₀/1, 44 = 4, 38/1, 44 = 3, 04 (мин).

Ответ: период полураспада ядер изотопа радия Ra составляет 3, 04 минуты, а средняя продолжительность жизни любого количества этого радиоактивного вещества составляет 4, 38 минуты.

2. Период полураспада радиоактивного элемента радона исчисляется примерно 4 днями. Определите массу оставшегося количества ядер радона через 20 дней, если вначале имелось 0, 01г этого вещества.

Решение. Для решения этой задачи можно построить таблицу изменения массы вещества через каждый цикл, соответствующий τ _½ , зная, что через каждые 4 дня распадается половина от взятой порции вещества. Таблица покажет нам следующее:

Эту же задачу можно решить и иным способом, подставив данные задачи в уравнение (13), связывающее массу радиоактивного вещества и период его полураспада:

m = m₀/2^{τ /τ} ½ = 0, 01(г)/2^20/4 = 0, 01(г)/2⁵ = 0, 0003125г.

Ответ: через 20 дней останутся не распавшимися 0, 0003125г радиоактивного вещества радона Rn.

2. Определите энергетический эффект ядерной реакции

³₁Т + ²₁D = ⁴₂He + ¹₀n,

если известны точные массовые числа изотопов, участвующих в этом процессе: А(³Т) = 3, 01604, А(⁴Не) = 4, 002603, А(²D) = 2, 014102, A(¹n) = 1, 008665.

Решение. Согласно уравнению (14) энергетический эффект в ядерном процессе определяется из соотношения

Δ Н = 931(Σ А_{реагентов} – Σ А_{продуктов}) МэВ/моль.

В этом выражении

Σ А_{реагентов} = А(³₁Т) + А(²₁D) = 3, 01604 + 2, 014102 = 5, 030142 а. е. м.;

Σ А_{продуктов} = А(⁴₂Не) + A(¹₀n) = 4, 002603 + 1, 008665 = 5, 011268 а. е. м.

Тогда Δ Н = 931(5, 030142 - 5, 011268) = 0, 018874 МэВ/моль.

Ответ: энергетический эффект ядерной реакции составил 0, 018874 МэВ/моль.

4. Массовое число ядра изотопа гелия равно 4, 0014 а.е.м., а массовые числа

входящих в это ядро протонов и нейтронов соответственно равны А(р) = 1, 0060 а.е.м., А(n) = 1, 0100 а.е.м. Определите энергию связи нуклонов в ядре атома гелия и энергию, выделяющуюся при образовании 1 моля ядер гелия.

Решение. Для определения энергии связи в ядре применим уравнение дефекта масс (5) и уравнение А. Эйнштейна (6). Согласно уравнению (5)

Δ m = [N(p)·m(p) + N(n)·m(n)] – m(ядра),

и затем по уравнению (6) Δ Е = Δ m·c².

Ядро атома гелия состоит из 2 протонов и 2 нейтронов, тогда массовые числа этих нуклонов будут равны

А(2р) = 2·1, 0060 = 2, 0120 а.е.м.; А(2n) = 2·1, 0100 = 2, 0200 а.е.м.

Мы помним, что 1а.е.м. = 1, 66·10^-27кг, следовательно, массы протонов и нейтронов составят

m(2p) = 1, 66·10^-27(кг)·2, 0120 = 3, 340·10^-27кг;

m(2n) = 1, 66·10^-27(кг)·2, 0200 = 3, 353·10^-27кг.

Аналогично определяем массу ядра атома гелия

m(He) = 1, 66·10^-27(кг)·4, 0014 = 6, 642·10^-27кг.

Теперь легко определить дефект масс при образовании ядра атома гелия из двух протонов и двух нейтронов

Δ m = [(m(2p) + m(2n)] – m(He) = [3, 340·10^-27(кг) - 3, 353·10^-27 (кг))] - 6, 642·10^-27(кг) = 0, 051·10^-27кг.

Энергия связи в ядре атома гелия

Δ Е = Δ m·c² = 0, 051·10^-27 (кг)·[3·10⁸(м/с)]² = 0, 459·10^-11 (Дж) = 4, 59·10^-12 (Дж).

При образовании 1 моля ядер атомов гелия количество выделяемой энергии будет соответственно равно Е = N_A·Δ Е = 6, 02·10²³(1/моль)· 4, 59·10^-12 (Дж) = 2, 76·10⁹ кДж/моль.

Ответ: Δ Е = 4, 59·10^-12 (Дж); Е = 2, 76·10⁹ кДж/моль.

5. Определите массу атомов свинца изотопа ²⁰⁶Pb и объем (при нормальных

условиях) газообразного гелия, образовавшихся при радиоактивном распаде 1моля атомов изотопа урана-232.

Решение. По положению химических элементов в Периодической системе Д.И. Менделеева определим порядковые номера, а, следовательно, заряды ядер изотопов урана, свинца и гелия, и напишем схему ядерного превращения:

²³²₉₂U → ²⁰⁶₈₂Pb + ⁴₂He.

Чтобы не нарушался закон сохранения зарядов, очевидно, необходимо поставить коэффициент 5 перед ядром атома гелия. Но для обеспечения закона сохранения массы понадобится в уравнение ввести еще одну субатомную частицу, не обладающую зарядом. Такой частицей является нейтрон, коэффициент перед этой частицей равен 6. Получим ядерную реакцию

²³²₉₂U = ²⁰⁶₈₂Pb + 5⁴₂He + 6¹₀n.

Как показывает уравнение, из 1 моля атомов изотопа урана-232 получается при радиоактивном распаде 1 моль атомов изотопа свинца-206 и 5 моль атомов гелия (вспомним, что молекулы инертных газов одноатомны). Поскольку массовое число атома изотопа свинца 206 а. е. м., то масса свинца будет равна 206 г. Объем выделившегося гелия определится по формуле V(He) = n(He)·V_m(He) = 5(моль)·22, 4(л/моль) = 112, 0 л.

Ответ: 206 г свинца и 112 л гелия.