Задание 3. При большом числе наблюдений одно и то же значение x может появляться nx раз, одно и то же значение y – ny

При большом числе наблюдений одно и то же значение x может появляться n_x раз, одно и то же значение y – n_y, одна и та же пара чисел – n_xy раз. Данные наблюдения группируют и представляют в виде корреляционной таблицы.

ПРИМЕР корреляционной таблицы:

Таблица 1.

В первой строке таблицы указаны наблюдаемые значения (60, 80, 100, 120, 140) признака X, в первом столбце (60, 80, 10, 120, 140) – признака Y. На пересечении строк и столбцов записаны частоты n_xy наблюдаемых значений признаков. (т.е. насколько часто появлялось конкретная пара чисел). Все частоты располагаются в выделенном прямоугольнике корреляционной таблицы. Черточка в ячейке означает, что пара чисел не встречается (например, (140; 60)).

В последнем столбце записаны суммы частот строк. Например, сумма для первой строки выделенного прямоугольника: n_y=6+3=8. (Означет, что признак Y=60 в сочетании с разными X наблюдался 8 раз). В последней строке записаны суммы частот столбцов. Например, n_x=10 означает, что признак X=60 в сочетании с другими Y встречается 10 раз.

В нижнем правом углу выделенное число «200» является суммой всех частот:

При расчете коэффициентов линии регрессии нам понадобится еще одна вспомогательная таблица, составленная по методу четырех полей (подробно расписано в книге Гмурмана «Теория вероятностей и математическая статистика»).

Представим вспомогательную таблицу в виде:

Таблица 2.

Рассмотрим первый выделенный прямоугольник. Значения в первой колонки взяты из предыдущей таблицы соответствующей колонки. Рассмотрим выделенную ячейку:

X*Y =(значение из столбца)*((значение из строки)=60*60=3600(ищем произведение чисел x и y). Рассчитываем таким же образом все остальные ячейки из выделенной цветом области (уже подсчитанные значения записаны курсивом).

В последний столбик записываем для каждой из строк: n_xy*x*y. Так для первой строки: n_xy*x*y=6*3600+3*4800+0*6000+0*7200+0*8400=36000 и т. д. Рассчитаем общую сумму: (выделено в таблице красным).

Перейдем непосредственно к заданию. Для нахождения коэффициентов линии регрессии используем метод наименьших квадратов. Суть метода в том, чтобы подобрать такую регрессионную прямую f(x_i, λ), которая имела бы минимальные отклонения от экспериментальных данных (x_i, y_i).

.

Рис. 54.

Следовательно, параметры функции f(x, l) определяются из условия минимума функции нескольких аргументов J(l), т.е. из системы уравнений:

,

в которой неизвестными являются все m + 1 параметров (столько же, сколько и уравнений), а все значения x_i и y_i известны из эксперимента.

Предположим, что исследуемая зависимость может быть представлена линейной регрессией f(x, a) = a₀ +a₁x. Тогда система нормальных уравнений метода наименьших квадратов приобретает вид:

Составим для расчетов этих параметров:

Таблица 3.

Формулы для расчета (используем таблицу 1):

N=200 (выделенное число из таблицы 1)

Сумма[(значение x)*(Значение n_x)]=60*10+80*48+100*77+120*40+140*25=20440.

Сумма[(значение y)*(Значение n_y)]=20520

Сумма[(значение x^2)*(Значение n_x)]= (60^2)*10+(80^2)*48+(100^2)*77+(120^2)*40+(140^2)*25=2179200.

Сумма[(значение y^2)*(Значение n_y)]=2187200

.

Подставляем систему уравнений, находим значения a₀, a₁.

Записываем окончательное уравнение для линии регрессии: .

Для расчета коэффициента корреляции воспользоваться формулой:

,

где , , , , .

Ответ: линия регрессии: ; коэффициент корреляции: .