И дифференциального уравнения в частных производных

Раздел 8. Дифференциальные уравнения

Общая характеристика дифференциальных уравнений

Определение обыкновенного дифференциального уравнения

и дифференциального уравнения в частных производных

Решение различных геометрических, физических и экономических задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту или иную задачу, с некоторой функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.

Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:

.

В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая также является производной по времени t от перемещения S, т.е.

Тогда получаем: - уравнение связывающее функцию с независимой переменной t и производной второго порядка функции .

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, неизвестные функции и производные различных порядков от неизвестных функций по независимым переменным.

Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Пример. - обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. Общий вид: .

- обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. Общий вид:

- дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция одного или нескольких аргументов, которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

В дальнейшее будем рассматривать дифференциальные уравнения, содержащие неизвестную функцию одного независимого аргумента.