Соединения четырёхполюсников

ЗАДАЧА 5.26. Г -схема четырёхполюсника задачи 5.1 (А ₁ = 0, 5 · е ^{- j ·45°}, В ₁= 10 · е ^{- j ·45°} Ом, С ₁ = - j ·0, 05 См, D ₁= 1) и четырёхполюсник задачи 5.17 (А ₂ = -1, В ₂= 22, 3· е ^{j ·116, 6°} Ом, С ₂ = 0, 14· е ^{j ·135°} См, D ₂= j ·3) включены каскад-но. Определить коэффициенты объединённого четырёхполюсника (рис. 5.22).

При каскадном соединении четырёхполюсников матрица коэффициен-тов [A] объединённого четырёхполюсника определяется как

[A] = = ´ .

Выполняя перемножение матриц, получаем:

A = A ₁ A ₂ + В ₁ С ₂ = 0, 5 · е ^{- j ·45°}× ( -1 ) + 10 · е ^{- j ·45°}× 0, 14· е ^{j ·135°} =

= -0, 5 + j 0, 5 + j 2 = 2, 55· е ^{j ·101, 3°};

В = A ₁ В ₂ + В ₁ D ₂ = 0, 5 · е ^{- j ·45°}× 22, 3· е ^{j ·116, 6°} + 10 · е ^{- j ·45°}× 3· е ^{j ·90°} =

= 5 + j 15 + 30 + j 30 = 57· е ^{j ·52, 1°} Ом;

С = С ₁ А ₂ + D ₁ С ₂ = 0, 05· е ^{- j ·90°}× ( -1 ) + 1·0, 14· е ^{j ·135°} = j 0, 05 – 0, 1 + j 0, 1 =

= 0, 18· е ^{j ·123, 7°} См;

D = С ₁ В ₂ + D ₁ D ₂ = 0, 05· е ^{- j ·90°}× 22, 3· е ^{j ·116, 6°} + 1× 3· е ^{j ·90°} = 1 + j 0, 5 + j 3 = 3, 64· е ^{j ·74°}.

Результаты вычислений проверим по соотношению A × D – В × С = 1:

(-0, 5+ j 2, 5)× (1+ j 3, 5) – (35+ j 45)× (-0, 1+ j 0, 15) = -9, 25 + j 0, 75 – (-10, 25 + j 0, 75) = 1.

ЗАДАЧА 5.27. Заданы схемы и пара-метры элементов двух Г -образных четы-рёхполюсников, соединённых каскадно (рис. 5.23): Х ₁ = 85 Ом, Х ₂ = 30 Ом,

Х ₃ = 40 Ом, Х ₄ = 80 Ом.

Рассчитать матрицы [A] обеих Г -схем четырёхполюсников, вычислить матрицу [A] каскадного их соединения.

Так как объединённая схема есть П -образный четырёхполюсник, проверить коэффициенты каскадного соединения с помощью соотношений между коэффициентами и сопротивлениями П -схемы четырёхполюсника.

Ответы: А _I = 1, В _I = - j 30 Ом, С _I = - j 0, 0118 См, D _I = 0, 647;

А _II = 0, 5, В _II = - j 40 Ом, С _II = - j 0, 0125 См, D _II = 1;

А = 0, 125, В = - j 70 Ом, С = - j 0, 014 См, D = 0, 1765.

ЗАДАЧА 5.28. Составить матрицы [A] одноэлементных схем четырёхпо-люсников (рис. 5.24, а и рис. 5.24, б). Определить матрицу [A] объединённого четырёхполюсника, полученного при каскадном соединении заданных четырёхполюсников: 1) а-б, 2) б-а.

Ответы: [A]_а = , [A]_б = ;

[A] ₁ = , [A] ₂ = .

ЗАДАЧА 5.29. Составить матрицы [A] двухэлементных резистивных четырёхполюс-ников (рис. 5.25, а и б). Значения сопротивлений: r _{1 a} = = 10 Ом, r _{2 a} = 20 Ом, r _{1 b} = 40 Ом, r _{2 b} = 5 Ом. Определить матрицу [A] объединённого четырёхполюсника, полученного при следующих соединениях заданных четырёхполюсников: 1) параллельное, 2) последовательное, 3) последовательно-параллельное, 4) параллельно-последовательное, 5) каскадное. Для каждого случая нарисовать схему объединённого четырёхполюсника.

Методические указания. По матрицам [A] двухэлементных четырёхполюсников вычислить следующие матрицы – [Y], [Z], [H], [G]. При параллельном соединении складываются матрицы [Y], при последовательном – [Z] и т.д. При каскадном – перемножаются матрицы [A]. Затем по полученным матрицам объединённого четырёхполюсника вычисляются соответствующие матрицы [A].

Ответы: [A]_а = , [A]_б = ; [A] ₅ = ;

[Y]_а = , [Y]_б = , [Y] = , [A] ₁= ;

[Z]_а = , [Z]_б = , [Z] = , [A] ₂= ;

[H]_а = , [H]_б = , [H] = , [A] ₃= ;

[G]_а = , [G]_б = , [G] = , [A] ₄= .

ЗАДАЧА 5.30. К входным зажимам симметричного четырёхполюсника, составлен-ного из реактивных элементов x_L =2, 5 Ом, x_C = 5 Ом, присоединён резистор r = 100 Ом (рис. 5.26).

Составить матрицу [A] полученного четырёхполюсника, рассматривая этот четырёхполюсник как каскадное соединение четырёхполюсника рис. 5.24, б и симметричного Т -образного.

Ответ: А = 0, 5, В = j 3, 75 Ом, С = 0, 005 + j 0, 2 См, D = 0, 5 + j 0, 0375.

ЗАДАЧА 5.31. На рис. 5.27 изображено одно звено однородной цепной схемы, образованной тремя звеньями. Во сколько раз отличаются мощности на входе и выходе схемы при согласованной нагрузке, если

Z ₁ = Z ₂ = j 50 Ом, Z ₀ = 10 – j 100 Ом.

Указание. Сначала определить коэффициент затухания одного звена. Коэффициент затухания многозвенного четырёхполюсника равен произведению коэффициента одного звена на количество звеньев. По коэффициенту затухания объединённого четырёхполюсника определить искомое отношение мощностей.

Ответ: Р_ВХ / Р_ВЫХ = 28, 8 раз.