Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору

Рассмотрим произвольную прямую в пространстве и вектор , параллельный данной прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой. На прямой выберем две произвольные точки и .

Обозначим радиус- векторы этих точек как и , очевидно, что .

Так как векторы и коллинеарны, то выполняется соотношение , где t – некоторый параметр. Следовательно, . Так как этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение является параметрическим уравнением прямой. Полученное векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем каноническое уравнение прямой в пространстве:

.

Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

; .

Откуда .

Числа называются угловыми коэффициентами прямой.

Так как - ненулевой вектор, то и не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.