Решение. Выбираем произвольные направления токов в ветвях схемы (указаны на рис

Выбираем произвольные направления токов в ветвях схемы (указаны на рис. 3.62, а) и строим граф электрической цепи такой, чтобы индуктивно связанные ветви (первая и вторая) были ветвями связи. Такой граф приведен на рис. 3.62, б, в котором ветви № 3, 4, 5 являются ветвями дерева.

Примем комплекс Е = Е = 300 B. Комплексные сопротивления ветвей схемы: Z ₁ = r ₁ + jx ₁= 10 + j 15 Ом, Z ₂ = r ₂ + jx ₂ = 30 + j 20 Ом,

Z _{M 12} = jx_{M 12} = j 13 Ом, Z ₃ = – jx ₃= – j 25 Ом,

Z ₄ = r ₄ = 16 Ом, Z ₅ = jx ₅= j 40 Ом, Z ₆ = jx ₆= j 12 Ом.

Составим матрицы:

- узловая матрица соединений ветвей при базисном узле №4, потенциал которого j ₄ = 0,

[ A ]= ;

- матрица главных контуров [ B ]= ;

- матрица сопротивлений ветвей [ Z _в]= ;

- столбцовая матрица ЭДС ветвей [ E _в]= ;

- столбцовая матрица токов источников токов ветвей

[ J _в]= ;

- столбцовая матрица неизвестных токов ветвей

[ I _в]= ;

- столбцовая матрица напряжений ветвей

[ U _в]= ;

- столбцовая матрица контурных токов (или токов ветвей связи)

[ I _k]= [ I _c]= ;

- столбцовая матрица потенциалов узлов [ j ]= .

По первому закону Кирхгофа [ A ] × [ I _в] = [ 0 ]. После перемножения матриц систему уравнений получаем в развёрнутом виде

I ₁ + I ₃ – I ₆ = 0;

- I ₁ + I ₄ + I ₅ = 0; (1)

- I ₂ – I ₄ + I ₆ = 0.

Для записи системы уравнений по второму закону Кирхгофа используем следующую редакцию этого закона:

[ B ] × [ Z _в] × [ I _в] = [ B ] × {[ E _в] - [ Z _в]× [ J _в]}.

После перемножения матриц получаем развёрнутую систему уравнений, составленную для исследуемой схемы по второму закону Кирхгофа: Z ₁× I ₁+ Z _{M 12}× I ₂– Z ₃× I ₃ + Z ₅× I ₅= 0;

Z _{M 12}× I ₁+ Z ₂× I ₂– Z ₄× I ₄+ Z ₅× I ₅= 0; (2)

Z ₃× I ₃+ Z ₄× I ₄– Z ₅× I ₅+ Z ₆× I ₆= E.

Отметим, что система шести уравнений (система (1) + система (2)) легко составляется по схеме без применения матриц.

Контурные уравнения

В матричной форме контурное уравнение имеет вид [ Z _k] × [ I _k] = [ E _k], где контурные ЭДС [ E _k] = [ B ] × {[ E _в] - [ Z _в]× [ J _в]} представляют ту же столбцовую матрицу, которая приведена в системе (2) уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа.

Рассчитаем матрицу контурных сопротивлений [ Z _k] = [ B ] × [ Z _в] × [ B ]^T

путём перемножения матриц. Получаем симметричную относительно главной диагонали матрицу

[ Z _k] = .

Система контурных уравнений в развёрнутом виде представляется системой (3):

(Z ₁+ Z ₃+ Z ₅ ) × I ₁+ (Z _{M 12}+ Z ₅ ) × I ₂– (Z ₃+ Z ₅ ) × I ₆ = 0;

(Z _{M 12}+ Z ₅ ) × I ₁+ (Z ₂+ Z ₄+ Z ₅ ) × I ₂– (Z ₄+ Z ₅ ) × I ₆ = 0; (3)

-(Z ₃+ Z ₅ ) × I ₁– (Z ₄+ Z ₅ ) × I ₂+ (Z ₃+ Z ₄+ Z ₅+ Z ₆ ) × I ₆= E.

Отметим, что эта система также может быть легко составлена по исходной схеме без применения матриц.

Узловые уравнения

В матричной форме узловые уравнения представляются соотношением

[ Y _y] × [ j ] = [ J _y],

матрица узловых токов [ J _y] = [ A ] × {[ J _в] - [ Y _в]× [ E _в]},

матрица проводимостей ветвей [ Y _в]= [ Z _в] ^-1,

матрица узловых проводимостей [ Y _y] = [ A ] × [ Y _в]× [ A ]^T.

Рассчитаем матрицу проводимостей ветвей для рассматриваемого примера и обратную матрицу сопротивлений ветвей, при этом главный определитель матрицы сопротивлений ветвей D = (Z ₁ × Z ₂ - Z _{M 12}² ) Z ₃ Z ₄ Z ₅ Z ₆, а матрица

[ Y _в]= × ,

где A_ij – алгебраические дополнения матрицы [ Z _в]. В результате получаем

[ Y _в]= .

Находим матрицу узловых токов [ J _y] = - [ A ] × [ Y _в]× [ E _в]= .

Рассчитаем матрицу узловых проводимостей

[ Y _y] = [ A ] × [ Y _в]× [ A ]^T=

= .

В развёрнутом виде система узловых уравнений представляет систему (4):

j ₁× – j ₂× – j ₃× = ;

- j ₁× + j ₂× – j ₃× = 0;

- j ₁× – j ₂× +

+ j ₃× = - . (4)

Очевидно, что эту систему уравнений вручную (без матриц) по исходной схеме составить невозможно.

Для приведенной мостовой схемы контурные уравнения (3) и узловые уравнения (4) включают по три уравнения и требуют одинакового объёма работы для их решения.

Решение контурных уравнений (3), которые после подстановки чисел представляются системой

( 10+ j 30 ) × I ₁+ j 53× I ₂– j 15× I ₆ = 0;

j 53× I ₁+ ( 46+ j 60 ) × I ₂– ( 16+ j 40 ) × I ₆ = 0; (5)

-j 15× I ₁– ( 16+ j 40 ) × I ₂+ ( 16+ j 27 ) × I ₆= 300,

следующее I ₁= 0, 073 – j 7, 496 A, I ₂= 5, 103 + j 2, 219 A, I ₆= 13, 18 – j 7, 2 A.

Токи ветвей рассчитываем по полученным контурным:

I ₁= 0, 073 – j 7, 496 = 7, 496× e ^{–j 89, 44°} A,

I ₂= 5, 103 + j 2, 219 = 5, 565× e ^{j 23, 5°} A,

I ₃= I ₆- I ₁= 13, 11 + j 0, 296 = 13, 12× e ^{j 1, 29°} A,

I ₄= I ₆– I ₂= 8, 08 – j 9, 22 = 12, 41× e ^{–j 48, 77°} A,

I ₅= I ₁+ I ₂– I ₆= -8 + j 1, 923 = 8, 235× e ^{j 166, 5°} A,

I ₆= 13, 18 – j 7, 2 = 8, 23× e ^{-j 28, 65°} A.

Проверим балансы мощностей.

Мощность источника питания

S = Е × = P_Г + jQ_Г = 300× ( 13, 18 + j 7, 2 ) = 3954 + j 2160 BA.

Активная мощность приёмников

SР_П = I ₁²× r ₁ + I ₂²× r ₂ + I ₄²× r ₄ = 7, 496²× 10 + 5, 565²× 30 + 13, 11²× 16 = 4241 Вт.

Реактивная мощность приёмников

SQ_П = I ₁²× x ₁ + I ₂²× x ₂ - I ₃²× x ₃ + I ₅²× x ₅ + I ₆²× x ₆ + 2× Im(I ₁× × jx_M) =

= 7, 496²× 15 + 5, 565²× 20 – 13, 12²× 25 + 12, 26²× 40 + 8, 23²× 12 +

+ 2× 7, 496× 5, 565× 13× sin( -84, 44° – 23, 5°+90° ) = 2225 вар.

Относительная погрешность расчётов по активной (e ₁ ) и реактивной (e ₂ ) мощностям:

e ₁%= = 3, 5% < 5%, e ₂%= = 1, 48% < 5%.

Результат расчёта приемлемый.