Решение. Комплексные сопротивления ветвей

Примем U = 220 B.

Комплексные сопротивления ветвей

Z ₁ = r ₁ + jx ₁ = 10 + j 20 Ом, Z ₂ = r ₂ + jx ₂ = 40 + j 30 Ом, Z _M = jx_M = j 20 Ом.

Для расчёта токов воспользуемся системой уравнений Кирхгофа:

I = I ₁ + I ₂; I ₁× Z ₁ – I ₂× Z _M = U; I ₂× Z ₂ – I ₁× Z _M = U.

решая систему двух последних уравнений методом Крамера, получаем:

I ₁ = U × = =12, 6× e ^{-j 28, 36°}=11, 09- j 5, 99 A;

I ₂ = U × = = 8, 11× e ^{–j 3, 74°}=8, 09- j 0, 53 A;

I = 11, 09 – j 5, 99 + 8, 09 – j 0, 53 = 19, 18 – j 6, 52 = 20, 26× e ^{–j 18, 77°} A.

Проверим балансы мощностей. Мощность источника питания

S _Г = P_Г + jQ_Г = U × = 220× ( 19, 18 + j 6, 52 ) = 4220 + j 1434 BA.

Суммарная активная мощность потребителей

SР_П = I ₁²× r ₁ + I ₂²× r ₂ = 12, 6²× 10 + 8, 11²× 40 = 4219 Вт,

суммарная реактивная мощность

SQ_П = I ₁²× x ₁ + I ₂²× x ₂ - 2× I ₁× I ₂× x_M × cos(y_{i 1} - y_{i 2} ) =

= 12, 6²× 20 + 8, 11²× 30 - 2× 12, 6× 8, 11× 20× cos( -28, 36°+3, 74° ) = 1433 вар.

Так как оба баланса мощностей выполняются, задача расчёта токов решена верно.

Отметим, что слагаемое реактивной мощности

-2× I ₁× I ₂× x_M × cos(y_{i 1} - y_{i 2} ) = -3716 вар

определяет расход реактивной мощности для создания магнитного потока передачи активной мощности, а знак «минус» этой мощности указывает на взаимное ослабление (размагничивание) потоками взаимной индукции потоков самоиндукции (см. рис. 3.42).

Показание ваттметра Р_W = Re(U × )= Re[ 220× ( 8, 09+ j 0, 53 )] = 1780 Вт.

Ваттметр измеряет активную мощность, поступающую «электриче-ским путём» во вторую ветвь: Р _{2 пост} = Re(U × )= 1780 Вт.

Потребляемая активная мощность определяется законом Джоуля-Ленца Р _{2 П} = I ₂²× r ₂ = 8, 11²× 40 = 2631 Вт.

Разность этих мощностей передаётся магнитным полем в первую ветвь

Р _2®1 = Р _{2 пост} – Р _{2 П} = 1780 – 2631 = -851 Вт.

Знак «минус» в полученном результате указывает на то, что в действительности имеет место передача активной мощности из первой ветви во вторую (Р _1®2 = +851 Вт) на покрытие дефицита мощности (потребление больше поступления).

Заметим, что есть другой путь подсчёта передаваемой активной мощности:

Р _1®2 = - I ₁× I ₂× x_M × sin(y_{i 1}– y_{i 2} ) = -12, 6× 8, 11× 20× sin( -28, 36° + 3, 74° ) = +851 Вт.

Для построения векторной диаграммы сначала на комплексной плоскости откладываем векторы (комплексы) токов I ₁ и I ₂ (рис. 3.44, б). Затем рассчитываем падения напряжений

I ₁× r ₁ = 12, 6× 10 = 126 В, I ₁× x ₁ = 12, 6× 20 = 252 В, I ₂× x_M = 8, 11× 20 = 162, 2 В,

I ₂× r ₂ = 8, 11× 40 = 324, 4 В, I ₂× x ₂ = 8, 11× 30 = 243, 3 В, I ₁× x_M = 12, 6× 20 = 252 В.

От начала координат выполняем операции сложения векторов (соответствующих комплексных чисел) в соответствии с исходной системой уравнений Кирхгофа: I ₁× r ₁ + I ₁× jx ₁ – I ₂× jx_M = U,

I ₂× r ₂ + I ₂× jx ₂ – I ₁× jx_M = U.

Векторная диаграмма приведена на рис. 3.44, б.

ЗАДАЧА 3.50. При разомк-нутом рубильнике Р показание вольтметра в схеме рис. 3.45 составляет 150 В. Параметры схе-мы r ₁ = 12 Ом, x _{1 L} = 10 Ом,

x _{1 C} = 26 Ом, r ₂ = 4 Ом, x ₂ = 20 Ом, r_Н = 12 Ом, U = 300 B.

Найти токи в схеме при замкнутом рубильнике, построить векторную диаграмму цепи.