Запись уравнения теплопроводности для ограниченного стержня. Формулировка задачи.

В качестве дальнейшего примера возьмем задачу о распространении тепла в ограниченном стержне. Стержень представляет собой одномерное пространственное тело (т.е. его радиус не учитывается) расположенное вдоль координаты (см. рисунок 2). Температура стержня в каждой точке будет определяться сложной функцией зависящей от координаты и времени - .

Рисунок 2. Задача распространение тепла в стержне

Рассмотрим задачу распространения тепла в стержне, предполагая, что тепловыделение отсутствует (нет внутренних источников). В этом случае процесс теплопередачи будет описываться уравнением теплопроводности для частного случая (10) и одной координаты:

или

Примем следующие допущения: значение коэффициента ; стержень ограничен с двух сторон – в точке и . Получим следующую запись уравнения с учетом ограничений:

, , (данное ограничение говорит о том, что мы не рассматриваем процессы до начала моделирования)

Для того чтобы сформулировать задачу, необходимо дополнить уравнение начальными и краевыми условиями.

Начальные условия – пусть в начальный момент времени () стержень нагрет так, что профиль его температуры по координате представляет собой синусоиду, т.е. при (см. рисунок 2).

Краевые условия – пусть на концах стержня (, ) температура не изменяется с течением времени, т.е. и при

Таким образом, постановка задачи для данного примера означает нахождение функции удовлетворяющей следующим условиям: