Правила перевода правильных дробей

Результатом перевода всегда является правильная дробь. Рассмотрим следующие группы правил:

o из десятичной системы – в двоичную и шестнадцатеричную,

o из двоичной и шестнадцатеричной системы – в десятичную,

o из двоичной системы в шестнадцатеричную и обратно.

1.2.1. Перевод из десятичной системы счисления – в двоичную и шестнадцатеричную:

а) исходная дробь умножается на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16);

б) в полученном произведении целая часть преобразуется в соответствии с таблицей 3.1 в цифру нужной системы счисления и вычитается – она является старшей цифрой получаемой дроби. Получается правильная дробь;

в) оставшаяся дробь вновь умножается на нужное основание системы счисления с последующей обработкой полученного произведения в соответствии с шагами а) и б).

г) процедура умножения продолжается до тех пор, пока ни будет получен нулевой результат в дробной части произведения или пока ни будет достигнуто требуемое количество цифр в результате;

д) формируется результат: последовательно отброшенные в шаге б) цифры составляют дробную часть результата, причем в порядке уменьшения старшинства.

Пример 1.8. Выполнить перевод числа 0, 847 в двоичную систему счисления. Перевод выполнить до четырех значащих цифр после запятой.

Имеем:

_*0, 847

2

1, 694 _*0, 694

1, 388 _*0, 388

0, 776 _*0, 776

1, 552

0, 1101 – результирующее число.

В данном примере процедура перевода прервана на четвертом шаге, поскольку получено требуемое число разрядов результата. Очевидно, это привело к потере ряда цифр.

Таким образом, 0, 847=0, 1101₂.

Пример 1.9. Выполнить перевод числа 0, 847 в шестнадцатеричную систему счисления. Перевод выполнить до трех значащих цифр.

_*0, 847

16

13, 552 _*0, 552

D 8, 832 _*0, 832

8 13, 312

D

0, D8D – результирующее число.

В данном примере также процедура перевода прервана.

Таким образом, 0, 847=0, D8D₁₆.

1.2.2. Перевод из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления – в десятичную. В этом случае рассчитывается полное значение числа.

Пример 1.10. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в десятичную числа 0, 1101₂. Имеем:

0, 1101₂=1*2^-1+1*2^-2+0*2^-3+1*2^-4=0, 5+0, 25+0+0, 0625=0, 8125.

Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом (см. пример 1.8) вызвано тем, что процедура перевода в двоичную дробь была прервана.

Таким образом, 0, 1101₂=0, 8125.

Пример 1.11. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную числа 0, D8D₁₆. Имеем:

0, D8D₁₆=13*16^-1+8*16^-2+13*16^-3=13*0, 0625+8*0, 003906+13* 0, 000244=0, 84692.

Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом (см. пример 3.9) вызвано тем, что процедура перевода в шестнадцатеричную дробь была прервана.

Таким образом, 0, D8D₁₆ = 0, 84692.

1.2.3. Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:

а) исходная дробь делится на тетрады, начиная с позиции десятичной точки вправо. Если количество цифр дробной части исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется справа незначащими нулями до достижения кратности 4;

б) каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей 3.2.

Пример 1.12. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0, 1101₂. Имеем:

0, 1101₂=0, 1101₂

первая (и единственная) тетрада

В соответствии с таблицей 3.2 1101₂=D₁₆. Тогда имеем 0, 1101₂=0, D₁₆.

Пример 1.13. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0, 0010101₂.

Поскольку количество цифр дробной части не кратно 4, добавим справа незначащий ноль:

0, 0010101₂ = 0, 00101010₂.

вторая тетрада

первая тетрада

В соответствии с таблицей 3.2 0010₂=2₁₆ и 1010₂=A₁₆.

Тогда имеем 0, 0010101₂=0, 2A₁₆.

1.2.4. Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

а) каждая цифра исходной дроби заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей 3.2;

б) незначащие нули отбрасываются.

Пример 1.14. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную числа 0, 2А₁₆.

По таблице 3.2 имеем 2₁₆=0010₂ и А₁₆=1010₂.

Тогда 0, 2А₁₆ = 0, 00101010₂.

Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный результат: 0, 2А₁₆=0, 0010101₂.