Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Исследование устойчивости САР






 

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целями работы являются:

· закрепление теоретических знаний и приобретение практических навыков анализа устойчивости замкнутых систем регулирования по их линейным моделям с использованием критерия Найквиста-Михайлова;

· изучение влияния на устойчивость систем параметров динамических звеньев САР.

 

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

 

Критерий устойчивости Найквиста-Михайлова основан на рассмотрении частотных характеристик разомкнутых САР и вытекает из принципа аргумента. Передаточная функция САР, имеющей единичную обратную связь (ОС) (рис. 1а), имеет вид

    Ф(р)=   W(p)   1 + W(p)     , (1)

где W(р) - передаточная функция разомкнутой САР

 

g(t) e(t) x(t) g(t) e(t) x(t)

W(p) W(p)

 

 

Z(p)

a б

Рис. 1

При неединичной ОС (рис. 1 б)

    Ф(р)=   W(p)   1 + Z(p)W(p)   . (2)

Так как по условию разомкнутая САР считается устойчивой, то для вывода амплитудно-фазового критерия устойчивости замкнутой системы достаточно проанализировать вспомогательную функцию

 

F(jw)=1+W(jw). (3)

Представляя W(jw) в виде дроби

 

      W(jw)=     Mp(jw)   Dp(jw)   , (4)

получим

    F(jw)=   Dp(jw)+Mp(jw) D(jw)   Dp(jw) Dp(jw)     , (5)

 

Знаменатель функции (5) представляет собой характеристическую кривую разомкнутой системы, а числитель - характеристическую кривую замкнутой системы.

 

Изменение аргумента функции

    F(jw)=   D(jw)   Dp(jw)     ,

при возрастании w от 0 до +¥ равно разности изменений аргумента D(jw) и Dp(jw), то есть

 

DargF(jw)=DargD(jw) - DargDp(jw) = (n-2m)p/2 - np/2 =-mp (6)

0£ w£ ¥ 0£ w£ ¥ 0£ w£ ¥

 

где n- число корней характеристического уравнения. m- число корней в правой полуплоскости. Система будет устойчива, если m=0, то есть, если

DargF(jw)=0, (7)

0£ w£ ¥.

Вектор F(jw) опишет угол, равный нулю, если его годограф не охватывает начало координат (рис. 2 а), а в плоскости W(jw) это будет соответствовать случаю, когда точка

(-1; j0) будет находиться вне АФХ (рис. 2 б).

j V(w) j V (w)

 

A

w=¥ w=0 -1 w=0

·

U(w) U(w)

w w

a б

 

Рис. 2

В окончательном виде амплитудно-фазовый критерий устойчивости формулируется следующим образом: САР будет устойчивой, если разность между положительными и отрицательными переходами АФХ отрезка действительной оси (- ¥... -1) равна р/2, где р - число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью. Переход W(jw) (с возрастанием w) из верхней полуплоскости в нижнюю считается положительным, а из нижней в верхнюю - отрицательным.

Поскольку в лабораторной работе исследуются только системы с устойчивыми и нейтральными динамическими звеньями, то критерий устойчивости может быть сформулирован следующим образом:

Если годограф разомкнутой линейной системы не охватывает точку с координатами (-1; j0), то соответствующая этой системе замкнутая система, полученная путем замыкания единичной обратной связи, будет устойчива.

 

3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИССЛЕДУЕМОЙ

СИСТЕМЫ

 

Структурная схема анализируемой системы приведена на рис. 3.

 

g(t) e(t) К(p) K0(pT1+1) exp(-pTz) x(t) = p(pT2+1)(pTд+1)

 

 

Рис. 3

 

 

Как видно из рис. 3, система имеет сложную передаточную функцию, поэтому вначале следует провести исследование годографов элементарных звеньев, входящих в передаточную функцию в виде сомножителей. Для передаточной функции вида

    K(p)=   K0(pT1+1) exp(-pTz)   p(pT2+1)(pTд+1)     (8)

 

 

такими простейшими звеньями являются:

- K0 - пропорциональное звено;

- exp(-pTz) - идеальное звено задержки (запаздывания сигнала) на время Tz;

- K01/p - интегрирующее звено (используется в системе ФАП рис. 4);

  -     K02 PT+1   - инерционное звено (используется в системе ЧАП рис.5); -

- K(p)=K03(pT+1) - форсирующее звено (используется как корректирующее).

 

 

g(t) K01/p g(t) K02

pT+1

 

Рис. 4 Рис. 5

В процессе работы необходимо уметь определять характерные точки годографа: частоты среза и сопряжения частотно-фазовых характеристик, критические частоты. Ниже приведен пример расчета характерных точек и построения годографа для системы третьего порядка с передаточной функцией вида

    K(p)=   K0   (pT+1)(pT+1)(pT+1)   . (9)

 

1. Модуль комплексного коэффициента передачи

|K(jw)|=K0/(Ö w2T2+1)3 . (10)

2. Частота среза находится из соотношения |K(jw)|=1, откуда

 

wср= [Ö (3 K0 -1) ] /T. (11)

 

3. Набег фазы на частоте среза равен

 

j(wср)=-3arctg(wсрT)=-3arctg3

. K0 -1 (12)

4. Запас устойчивости по фазе jзап для замкнутой системы

 

jзап =-p-j(wср)=-p+3arctg3. (13)

K0-1

5. Критическая частота wкр, для которой набег фазы в разомкнутой системе равен -p, определяется из выражения

-3arctg(wкрT)=-p, или

arctg(wкрT)=p/3, (14)

откуда

 

wкр= (3)/T. (15)

Годограф рассматриваемой системы изображен на рис. 6.

j Im K(jw)

 

 

(-1; j0) w=¥ w=0

w=wкр Re K(jw)

K(wср)=1

 

w=wср j(wср)

 

jзап

 

 

Рис. 6

При выполнении лабораторных заданий годографы строятся автоматически, с помощью программы, однако изображения векторов и характерных точек на экране не воспроизводятся. Обратите внимание:

- рисунки, снятые с экрана, необходимо дополнить изображениями векторов для характерных точек и нанесением самих характерных точек и их параметров;

- формулы (10-15) для определения характерных точек справедливы только для примера САР с передаточной функцией (9). Для других передаточных функций формулы для определения характерных точек разумеется будут иными.

Замечание: При анализе устойчивости по годографу разомкнутой системы следует обратить внимание на определение “охватываемости” годографом точки (-1; j0): необходимо всегда идти из начала координат вправо по действительной оси до точки начала годографа (w=0), либо ”до бесконечности”, затем следует идти по линии годографа, либо по окружности “бесконечного радиуса” до встречи с другой ветвью годографа, а затем по линии годографа к точке w=¥, как это показано на рис. 7, 8.

 

 

j Im K

 

 

w=¥

-1 Re K

 

 

Неустойчивая система

 

Рис. 7

 

 

j Im K

 

 

w=¥

Re K

 

Устойчивая система

 

Рис. 8

 

 

 

4. ЛАБОРАТОРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЗВЕНЬЕВ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

ПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМ

 

4.1. Влияние дополнительных звеньев на устойчивость системы первого порядка с одним инерционным звеном

 

4.1.1. Задание первое. Исследовать влияние на устойчивость дополнительного звена идеальной задержки (запаздывание сигнала в системе).

Указания по выполнению. Установить значение усиления К0=2, постоянную времени Т2 согласно индивидуальному заданию, а остальные постоянные времени установить равными нулю. Построить годограф звена. Определить частоту среза wср и запас устойчивости по фазе jзап в замкнутой системе, пользуясь методикой, проиллюстрированной на примере рис. 6, формулы (9-13).

Рассчитайте допустимое время запаздывания сигнала в замкнутой системе Тз доп. Введите это значение времени задержки в программу. Постройте годограф системы с запаздыванием. Сделайте вывод о потере устойчивости системы при Тз больше допустимого.

 

4.1.2. Задание второе. Исследовать влияние форсирующего звена (коррекция системы)

Указания по выполнению. Введите в потерявшую устойчивость систему дополнительное форсирующее звено с частотной характеристикой

K(jw)=1+jwT1, приняв Т1=0, 01 с. Постройте годограф скорректированной системы.

Сделайте вывод об устойчивости системы и примите решение о необходимости изменения значения Т1. Повторите построение годографа с новым значением Т1. Определите запас устойчивости по фазе.

 

4.1.3. Задание третье. Исследовать влияние на систему дополнительного интегрирующего звена.

Указания по выполнению. Рассмотренная система первого порядка с одним инерционным звеном является статической системой, которая не может отработать до нуля ошибку при воздействии скачка входного сигнала. Для придания системе астатизма и уменьшения динамических ошибок в нее добавляют корректирующий интегратор сигнала ошибки. Введите в исследуемую систему интегратор с ККП K(jw)=K0/ jwj. Все постоянные времени, кроме Тз, сделайте равными нулю (Т12з=0, значение Тд возьмите из первого задания для Т2). Постройте годограф. Определите запас устойчивости по фазе jзап в получившейся замкнутой системе второго порядка. Сделайте вывод о том, насколько изменился запас устойчивости системы после включения дополнительного интегрирующего звена.

 

4.2. Исследование влияния дополнительных звеньев на систему первого порядка с одним интегрирующим звеном

 

4.2.1. Задание четвертое. Исследовать влияние звена идеальной задержки.

Указания по выполнению. В моделирующей программе включите интегратор. Примите равными нулю остальные временные параметры модели. Постройте годограф разомкнутой системы при отсутствии задержки.

Зная частоту среза wср и угол набега фазы j(wср), определите запас устойчивости по фазе и рассчитайте допустимое времязадержки Тз доп.

Введите это значение времени задержки в программу. Постройте новый годограф. Сделайте вывод об устойчивости системы.

 

4.2.2. Задание пятое. Исследовать влияние форсирующего звена на систему с интегратором, потерявшую устойчивость из-за запаздывания сигнала.

Указания по выполнению. Для системы с параметрами, использованными в задании №4, постройте годограф и убедитесь в том, что система исчерпала запас устойчивости.

Введите в систему дополнительное форсирующее звено с ККП K(jw)=jwT+1, приняв Т1=1/ 5K0. Постройте годограф скорректированной системы. Определите запас устойчивости по фазе в этой системе.

Увеличьте постоянную времени Т1 форсирующего звена. Постройте годограф. Сделайте выводы о возможностях использования форсирующих звеньев для повышения устойчивости системы. Зарисуйте графики. Сравните результаты моделирования с результатами расчетно-практических заданий. Сделайте общие выводы по результатам исследований.

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ПРОДЕЛАННОЙ

РАБОТЕ

 

1) Дайте понятия “устойчивой” и “неустойчивой” САР.

 

2) Что такое “принцип аргумента”?

 

3) Сформулируйте и поясните критерий устойчивости Найквиста-Михайлова для замкнутых систем.

 

4) Какие точки на годографе САР считаются “характерными”? Как они определяются?

 

5) Как влияет на устойчивость САР звено задержки?

 

6) Как влияет на устойчивость САР форсирующее звено?

 

7) Как влияет на устойчивость САР интегрирующее звено?

 

 

8) Для чего может использоваться в САР дополнительное интегрирующее звено?

 

Лабораторная работа №4






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.