Уравнение Эйлера устанавливает связь между увеличением энергии жидкости в нагнетателе и изменением её скорости.

При выводе уравнения примем некоторые допущения по причине того, что кинематическая структура потока во вращающихся криволинейных каналах весьма сложна.

1. Нагнетатель перекачивает невязкую жидкость;

2. Поток имеет струйчатую структуру, т. е. состоит из множества струй, повторяющих геометрическую форму лопасти;

3. Имеет место осевая симметрия потока, т. е. все струи, составляющие поток, совершенно одинаковы геометрически и кинематически;

4. Поток является плоским, т. е. градиент скорости вдоль оси, параллельной геометрической оси машины, отсутствует.

Первые два предположения можно полагать осуществимыми только при бесконечно большом количестве рабочих лопастей при условии, что лопасти не имеют толщины и следовательно, не уменьшают проходное сечение межлопастных, каналов.

Для вывода уравнения Эйлера воспользуемся уравнениями моментов количества движения, согласно которому изменение момента количества движения тела равно импульсу момента внешних сил действующих на это тело.

Это уравнение применим к массе жидкости Δ m протекающей через каналы колеса за время Δ τ.

Заменяя моменты количества движения массы Δ m относительно оси колеса на входе:

(1)

(2)

Где r1 и r2 – соответственно радиусы вращения массы на входе и выходе

Изменение момента количества движения составит:

(3)

Считаем, что величина Δ L вызвана только импульсом момента сил стенок рабочего колеса, тогда

Δ L=P*Δ τ (4)

Где Р – момент сил действующих на массу Δ m.

Учитывая (3) получим (5)

Где М=Δ m/Δ τ (6) массовая производительность рабочего колеса

Умножим обе части уравнения (5) на угловую скорость вращения колеса ω

(7)

Учитывая, что u=r*ω

(8)

P*ω представляет собой приложенную к жидкости полезную мощность, т.е. это полезная мощность идеального теоретического нагнетателя

Nп.т.=Р*ω (9)

С другой стороны эту мощность можно выразить по-другому

Nп.т.=М*g*Hт, где Нт – теоретический напор.

Nп.т.=Р*ω = М*g*Hт (11)

Теперь приравняем (8) и (11)

М*g*Hт= (12)

(13)

Это уравнение было получено Эйлером в 1754 г.

У многих нагнетателей среда подводиться в каналы с абсолютной скоростью с1 перпендикулярной к окружной скорости u1. В этом случае cosα 1=0 и (13) будет

(14)

Уравнение 14 справедливо для всех центробежных нагнетателей с радиальным входом жидкости.

Запишем уравнение Эйлера в др. форме.

(15)

(16)

Подставив (15) и (16) в (13) получим

(18) - динамический напор жидкости

- статический напор (19)